2020年暑假八年级数学学习单1
《1.旋转中的半倍角模型剖析》
专题导入
导例：如图，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF．下列结论：①∠EAF=45°； ②BE=CD；③EA平分∠CEF； ④BE+DC=DE.下其中正确的个数有（ ）．
A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 方法提炼
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图2 图3
如图，已知OA=OB，∠2=∠1+∠3，则可以通过以下解题策略进行转化：连接FB，将△FOB绕点O旋转至△F′OA的位置，连接F′E，FE，可得△OEF′≌△OEF. 模型分析
（1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点，且共顶点线段相等； （2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系； （3）常见的半角模型是90°含45°，120°含60°. 例题讲解
类型一：特定角度的半倍构造旋转全等
例1问题：如图①，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为 ；
类型二：一般的半倍角构造旋转全等
例2．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=2∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ；
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（2）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF=∠BAD，
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（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF=2∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系： ．
1
专题练习
1．在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，若BC=5，BD=4．则下列结论错误的是（ ）．
A．AE∥BC B．∠ADE=∠BDC C．△BDE是等边三角形 D．△ADE的周长是9
A
PB图3 C2．如图，在△ABC中，∠BAE=60°．若AB=2AC，点P在△ABC内，且PA=√3， BP=5 ，∠APC=120°，则PC=______．
3.正方形ABCD中，E是CD边上一点，
（1）将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD，AB重合，得到△ABF，如图1所示.观察可知：与DE相等的线段是_______，∠AFB=______；
（2）如图2，正方形ABCD中，P，Q分别是BC，CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ； （3）在（2）题中，连接BD分别交AP，AQ于M，N，你还能用旋转的思想说明BM2+DN2=MN2.
4. 已知等腰Rt△ABC与等腰Rt△CDE，∠ACB=∠DCE=90°．把Rt△ABC绕点C旋转． （1）如图1，当点A旋转到ED的延长线上时，若BC=
13√22
，BE=5，求CD的长；
（2）当Rt△ABC旋转到如图2所示的位置时，过点C作BD的垂线交BD于点F，交AE于点G，求证：BD=2CG．
5.在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，对角线AC平分∠BAD.
（1）如图1.1，若∠DAB=120°，且∠B=90°，试探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由. （2）如图1.2，若将（1）中的条件“∠B=90°”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由. （3）如图1.3，若∠DAB=90°，探究边AD，AB与对角线AC的数量关系并说明理由
6.如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把△AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD.
(Ⅰ)求点B的坐标及直线AB的解析式;
(Ⅱ)当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点D的坐标; (Ⅲ)是否存在点P，使△OPD的面积等于结果即可)
√3
，若存在，请求出符合条件的点4
P的坐标(直接写出
备用图
7.在平面直角坐标系中，点 A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)，点 D，点E分别是 AC，BC的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′，旋转角为α，连接 AD′，BE′. (1)如图①，若 0°＜α＜90°，当 AD′∥CE′时，求α的大小；
(2)如图②，若 90°＜α＜180°，当点 D′落在线段 BE′上时，求 sin∠CBE′的值； (3)若直线AD′与直线BE′相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围.
初三数学专题：旋转中的半倍角模型剖析
