《概率与统计》专项练习（解答题）
1．（2016全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机
器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损
零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数． （Ⅰ）若n＝19，求y与x的函数解析式；
（Ⅱ）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于，求n的最小值；
（Ⅲ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易
损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件
解：（Ⅰ）当x≤19时，y＝3800
当x＞19时，y＝3800＋500(x－19)＝500x－5700
3800， ??≤19
∴y与x的函数解析式为y＝{(x∈N)
500???5700，??＞19
（Ⅱ）需更换的零件数不大于18的频率为，不大于19的频率为
∴n的最小值为19
（Ⅲ）①若同时购买19个易损零件
则这100台机器中，有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800
1
∴平均数为(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000
②若同时购买20个易损零件
则这100台机器中，有90台的费用为4000，10台的费用为4500
1
∴平均数为(4000×90＋4500×100)＝4050
∵4000＜4050
∴同时应购买19个易损零件
2．（2016全国Ⅱ卷，文18，12分）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保
人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 0 1 2 3 4 ≥5 上年度出险次数 a 2a 保费 随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表： 0 1 2 3 4 ≥5 出险次数 60 50 30 30 20 10 频数 （Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值； （Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求
P(B)的估计值；
（Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值． 解：（Ⅰ）若事件A发生，则一年内出险次数小于2
60+50
则一年内险次数小于2的频率为P(A)＝200＝ ∴P(A)的估计值为
（Ⅱ）若事件B发生，则一年内出险次数大于1且小于4
30+30
一年内出险次数大于1且小于4的频率为P(B)＝200＝ ∴P(B)的估计值为
（Ⅲ）续保人本年度的平均保费为
1×60＋a×50＋×30＋×30＋×20＋2a×10)＝ 200
100100
3．12分）（2016全国Ⅲ卷，文18，下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：
亿吨）的折线图
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量． 附注：
参考数据：?yi?9.32，?tiyi?40.17，
i?177i?1?(yi?17i?y)2＝，√7≈．
?(t参考公式：相关系数r＝
i?1ni?t)(yi?y)n?(ti?1n．
i?t)2?(yi?y)2i?1?t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 回归方程???＝???＋???＝ ??
?(ti?1ni?t)(yi?y)i?(ti?1n??? ，???＝???－??
?t)27
1
解：（Ⅰ）由折线图中数据得??＝(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4………………1分
由附注中参考数据得
?(ti?17i?t)(yi?y)＝?tiyi－t?yi＝－4×＝
i?1i?177………………………………………………………………………2分
2222222＝(t1?4)?(t2?4)?(t3?4)?(t4?4)?(t4?4)?(t6?4) ?(t7?4) ＝28………………………………………………………………3分
72(yi?y)＝………………………………………………4分
?i?1?(tr＝
i?1ni?t)(yi?y)2?(ti?1ni?t)?(yi?1n＝
i2.89?y)2?(ti?1ni?t)?2?(yi?1n＝
i?y)22.89≈
28?0.55………………………………………………………………………5分 ∵y与t的相关关系r近似为，说明y与t的线性相关程度相当高 ∴可以用线性回归模型拟合y与t的关系…………………………6分
?y（Ⅱ）???＝
i?1n7i7＝
9.327
≈………………………………………………7分
?＝??
?(ti?1i?t)(yi?y)i?(ti?1n?t)2＝28≈…………………………………8分
2.89
???≈－×4≈…………………………………9分 ???＝???－??
∴y关于t的回归方程为???＝＋…………………………10分
2016年对应的t＝9…………………………………………………11分 把t＝9代入回归方程得???＝＋×9＝
∴预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约亿吨………12分
4．（2015全国Ⅰ卷，文19，12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣
传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． ?? ?? 563 ?? 18∑(xi－??)2 ??＝18∑(wi－??)2 ??＝18∑(xi－??)(yi－??) ∑(wi－??)(yi－??) ??＝1??＝188 1469 表中wi＝√????，??＝8∑wi．
??＝1
（Ⅰ）根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d√??哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x
的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝－x．根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少 （ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的
最小二乘估计分别为??＝
^
??＝1
∑(????－??)(????－??)∑(????－??)2
????
，??＝??－????．
^
^
??＝1
解：（Ⅰ）y＝c＋d√??适宜作为y关于x的回归方程类型
………………………………………………………………………………………2分 （Ⅱ）令w＝√??，先建立y关于w的回归方程
由于d＝^
^^
i＝1
∑(wi－w)(yi－y)∑(wi－w)2
88
＝
108.81.6
＝68…………………3分
i＝1
c＝y－dw＝563－68×＝…………………4分
∴y关于w的回归方程为y＝＋68w…………………5分 ∴y关于x的回归方程为y＝＋68√x…………………6分 （Ⅲ）（ⅰ）由（Ⅱ）知，当x＝49时
y的预报值y＝＋68√49＝…………………7分 z的预报值z＝×－49＝…………………9分
（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知
z的预报值z＝0．2＋68√x)－x＝－x＋√x＋……10分
∴当√x＝＝，即x＝时，z取得最大值…………………11分
2
∴年宣传费为千元时，年利润的预报值最大…………………12分
5．（2015全国Ⅱ卷，文18，12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别
随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表．
B地区用户满意度评分的频数分布表
满意度评分分组 [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频 数 2 8 14 10 6
（Ⅰ）作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分
13.6
^
^^^
^^
的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)； （Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：
满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意
估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大说明理由．
解：（Ⅰ）
…………4分
B地区的平均值高于A地区的平均值…………5分
B地区比较集中，而A地区比较分散…………6分 （Ⅱ）A地区不满意的概率大…………7分
记CA表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”
CB表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意” …………9分 由直方图得P(CA)＝＋＋×10＝…………10分
P(CB)＝＋×10＝…………11分
∴A地区不满意的概率大…………12分
6．（2014全国Ⅰ卷，文18，12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一
项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组 [75，85) [85，95) [95，105) [105，115) [115，125)
频数 6 26 38 22 8
（Ⅰ）作出这些数据的频率分布直方图；
（Ⅱ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表)；
（Ⅲ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95
的产品至少要占全部产品80%”的规定
解：（Ⅰ）
…………4分
（Ⅱ）平均数为x＝80×＋90×＋100×＋110×＋120×＝100
1
方差为S2＝100[6×(80－100)2＋26×(90－100)2＋38×(100－100)2
＋22×(110－100)2＋8×(120－100)2]
＝104
∴平均数为100，方差为104…………8分
（Ⅲ）质量指标值不低于95的比例为＋＋＝…………10分
∵＜…………11分
∴不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定…………12分
7．（2014全国Ⅱ卷，文19，12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
甲部门 乙部门 3 59 4 4 0448 97 5 110 6 0 3332100 7 0113449 6655200 8 123345 632220 9 011456 10 000 （Ⅰ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； （Ⅱ）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率； （Ⅲ）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 解：（Ⅰ）甲的评分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75
∴样本中位数为＝75
2
∴甲的中位数是75
乙的评分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68 ∴样本中位数为2＝67 ∴乙的中位数是67
5
（Ⅱ）甲的评分高于90的概率为50＝
∴甲、乙的评分高于90的概率分别为， （Ⅲ）甲的中位数高于对乙的中位数
甲的标准差要小于对乙的标准差
甲的评价较高、评价较为一致，对乙的评价较低、评价差异较大
8．（2013全国Ⅰ卷，文18，12分）为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，
随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下： 服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
（Ⅰ）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好 （Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好 解：（Ⅰ）设A的平均数为x，B的平均数为y
1
x＝20＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝
y＝20＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋3.)＝ ∴x＞y ∴A药的疗效更好
1
66＋6875＋75
乙的评分高于90的概率为50＝
8
高考数学《概率与统计》专项练习解答题含答案
