?1?61221令x-=x2+x-4，可求出x?. 设射线DF与抛物线P相交于点N， 3323-1-61则N的横坐标为，过N作x轴的垂线交x轴于H，有
3-5+61FNHE3==， =93DFDE点M不在抛物线P上，即点M不与N重合时，此时k的取值范围是
-5+61k≠且k＞0.
9说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分. 若选择另一问题：
ADDG(2)∵，而AD=1，AO=2，OC=4，则DG=2， =AOOCFGCP又∵， 而AB=6，CP=2，OC=4，则FG=3， =ABOC-2--1-61∴sDEFG=DG·FG=6.
练习1.解：利用中心对称性质，画出梯形OABC． ················· 1分 ∵A，B，C三点与M，N，H分别关于点O中心对称，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0） ··················· 3分 （写错一个点的坐标扣1分）
（2）设过A，B，C三点的抛物线关系式为∵抛物线过点A（0，4）， ∴
．则抛物线关系式为
． ·············· 4分
，
将B（6，4）， C（8，0）两点坐标代入关系式，得
···························· 5AB，垂足为
11
G，则sin∠FEG＝sin∠CAB＝分
解得····················· 6分
所求抛物线关系式为：．········ 7分
（3）∵OA=4，OC=8，∴AF=4－m，OE=8－m． ·········· 8分 ∴
OA（AB+OC）AF·AGOE·OFCE·OA
∵
． ∴当
（ 0＜
＜4） ········ 10分
时，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，∴不存在m值，使S的取得最小值． ······· 12分 （4）当
时，GB=GF，当
时，BE=BG． 14分
练习3.[解] （1）当0≤x≤1时，AP?2x，AQ?x，y?即y?x．
21AQ?AP?x2， 21S正方形ABCD时，橡皮筋刚好触及钉子， 2411BP?2x?2，AQ?x，?2x?2?x??2??22，?x?．
3224（3）当1≤x≤时，AB?2，
3（2）当S四边形ABPQ?PB?2x?2，AQ?x，
?y?AQ?BPx?2x?2?AB??2?3x?2， 22y
即y?3x?2．
作OE⊥AB，E为垂足． 当
3 2
4≤x≤2时，BP?2x?2，AQ?x，OE?1， 331?2x?21?x?1??1?x， y?S梯形BEOP?S梯形OEAQ?222
1
O
12
1 4 32 x
即y?3x． 2 90?≤∠POQ≤180?或180?≤∠POQ≤270? （4）如图所示：
练习4.[解] (1) 设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)， ∵l1与x轴的交点为A(-2，0)，C(2，0)，顶点坐标是(0，- 4)，l2与l1关于x轴对称， ∴l2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0，4)， ??4a?2b?c?0,∴?4a?2b?c?0, ??c?4.∴ a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式为y= -x2+4 . (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答)
(2) 设点B(m，n)为l1：y=x2-4上任意一点，则n= m2-4 (*). ∵ 四边形ABCD是平行四边形，点A、C关于原点O对称， ∴ B、D关于原点O对称， ∴ 点D的坐标为D(-m,-n) .
由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4， 即点D的坐标满足y= -x2+4， ∴ 点D在l2上.
(3) □ABCD能为矩形. 过点B作BH⊥x轴于H，由点B在l1：y=x2-4上，可设点B的坐标为 (x0，x02-4)， 则OH=| x0|，BH=| x02-4| .
易知，当且仅当BO= AO=2时，□ABCD为矩形. 在Rt△OBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22， (x02-4)( x02-3)=0，∴x0=±2(舍去)、x0=±3 .
所以，当点B坐标为B(3 ，-1)或B′(-3 ，-1)时，□ABCD为矩形，此时，点D的坐标分别是D(-3 ，1)、D′( 3 ，1).
因此，符合条件的矩形有且只有2个，即矩形ABCD和矩形AB′CD′ . 设直线AB与y轴交于E ，显然，△AOE∽△AHB， EOBHEO1?∴ = ，∴. AOAH22?3∴ EO=4-23 .
由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形，其面积为
11
S=2SΔACE=2× × AC ×EO =2× ×4×(4-23 )=16 - 83 .
22
三．二次函数与四边形的动态探究
例1.解：(1)由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90°．∴∠OPE＋∠APB=90°．又∠APB＋∠ABP=90°，∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴
x3POBA114．即?．∴y=x(4?x)??x2?x(0＜x＜4)． ?y4?xOEAP333 13
且当x=2时，y有最大值13．
(2)由已知，△PAB、△POE均为等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)．
??c?1,?a?1,?2设过此三点的抛物线为y=ax2
＋bx＋c，则??a?b?c?0,∴??b??3,
??16a?4b?c?3.?2??c?1.?y=
1232x?2x?1． (3)由(2)知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件． 直线PB为y=x－1，与y轴交于点(0，－1)． 将PB向上平移2个单位则过点E(0，1)， ∴该直线为y=x＋1．
?y?x?1,由??得???x?5,∴?y?1232x?2x?1,?y?6.Q(5，6)． 故该抛物线上存在两点Q(4，3)、(5，6)满足条件．
例2.解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8 ……………………1分∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2
∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0） …………………4分 （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上 ∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式，得
解得
∴所求抛物线的表达式为y＝x2 x＋8 ………………………7分
（3）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC
∴ 即
∴EF＝
14
∴＝ ∴FG＝·＝8－m
∴S＝S△BCE－S△BFE＝（8－m）×8－（8－m）（8－m）
＝（8－m）（8－8＋m）＝（8－m）m＝－m2＋4m …………10分
自变量m的取值范围是0＜m＜8 …………………………11分 （4）存在．
理由：∵S＝－m2＋4m＝－（m－4）2＋8 且－＜0，
∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8 ………………………12分 ∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0）
∴△BCE为等腰三角形． …………………………14分
（以上答案仅供参考，如有其它做法，可参照给分）
例3解: （1）相等
理由是：因为四边形ABCD、EFGH是矩形， 所以S?EGH?S?EGF,S?ECN?S?ECP,S?CGQ?S?CGM
所以S?EGH?S?ECP?S?CGM?S?EGF?S?ECN?S?CGQ, 即：S?S?
（2）AB＝3，BC＝4，AC＝5，设AE＝x，则EC＝5－x，PC?35(5?x),MC?45x,所以S?PC?MC?121225x(5?x)，即S??25x2?125x(0?x?5) 配方得：S??12(x?5)25252?3，所以当x?2时， S有最大值3
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二次函数与四边形的动点问题(含答案)
