例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S?表示矩形NFQC的面积．
（1） S与S?相等吗？请说明理由．
（2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE，当AE为何值时，?ABE是等腰三角形． DADA x PPEHHE
CMB MBNCN
FGQ FGQ
图10
图11
练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自 变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标， 若不存在，说明理由．
OMPAxQCyNB
图12
6
练习2..(江西省) 25．实验与探究
（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1，
2)， ， ； 2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5，y B(1，2) y y B(c，d) B(c，d) C D(4，0) C D(e，0) C
O (A) 图1
x
O (A) 图2
x
O A(a，b) D(e，b) x
图3
（2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）；
y B(c，d) C D(e，f)
A(a，b) O 图4
x
归纳与发现
（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m纵坐标b，d，n，f之间的等量关，e之间的等量关系为 ；系为 （不必证明）；
运用与推广
（4）在同一直角坐标系中有抛物线y?x?(5c?3)x?c和三个点G??2?15??19?c，c?，S?c，c?，?22??22?H(2c，0)（其中c?0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四
边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标．
7
答案：
一．二次函数与四边形的形状
例1.解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3∴A（-1，0）B（3，0）；
将C点的横坐标x=2代入y?x2?2x?3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（(x,x2?2x?3)∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2 ∴当x?19时，PE的最大值= 24（3）存在4个这样的点F，分别是F,0),F2(?3,0),F3(4?7，0),F4(4?7,0) 1(1练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x?7，可设解析式为 2y7y?a(x?)2?k．把A、B两点坐标代入上式，得
2x?7 272?a(6?)?k?0,?225?2. 解之，得a?,k???36?a(0?7)2?k?4.??2故抛物线解析式为y?B(0,4) F O E A(6,0) 2725725(x?)2?，顶点为(,?). 32626x （2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合
y?2725(x?)2?， 326∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是?OEAF的对角线， ∴S?2S?OAE?2?因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的 取值范围是1＜x＜6． ①
化简，得(x?)?根据题意，当S = 24时，即?4(x?)?25?24．
17?OA?y??6y??4(?)2?25． 227227221. 解之，得x1?3,x2?4. 4故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以?OEAF是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以?OEAF不是菱形． ② 当OA⊥EF，且OA = EF时，?OEAF是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）．
而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使?OEAF为正方形．
l2 5 E 4 2?4)．设l2的函数关系式为y?练习2.解：（1）由题意知点C?的坐标为(3，3 a(x?3)?4． 2 1 B A 1 2 3 4 8 5 x ?1 O ?1 ?2 ?3 ?4 y ?又?点A(1，0)在抛物线y?a(x?3)2?4上，?(1?3)2a?4?0，解得a?1．
?抛物线l2的函数关系式为y?(x?3)2?4（或y?x2?6x?5）．
（2）?P与P?始终关于x轴对称， ?PP?与y轴平行．
22设点P的横坐标为m，则其纵坐标为m?6m?5，?OD?4，?2m?6m?5?4，即
m2?6m?5??2．当m2?6m?5?2时，解得m?3?6．当m2?6m?5??2时，解得
m?3?2．?当点P运动到(3?6，2)或(3?6，2)或(3?2，?2)或(3?2，?2)时，
∥OD，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形． P?P （3）满足条件的点M不存在．理由如下：若存在满足条件的点M在l2上，则
?AMB?90?，??BAM?30?（或?ABM?30?）， 11?BM?AB??4?2．
22?过点M作ME?AB于点E，可得?BME??BAM?30．
y5 D3 2 1 Cl2?EB?11BM??2?1，EM?3，OE?4． 22?点M的坐标为(4，?3)．
但是，当x?4时，y?42?6?4?5?16?24?5??3??3．
?1O?1?2?3?4?51 2 3 AE4 5 BxMC?l1?不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．
40，)，20，)，08，)关于原点的对称点分别为D(4，0)，C(2，0)，练习3. [解] （1）点A(?点B(?点E(F(0，?8)． 设抛物线C2的解析式是
，?16a?4b?c?0，?a??1??y?ax2?bx?c(a?0)，则?4a?2b?c?0，解得?b?6，
?c??8．?c??8．??所以所求抛物线的解析式是y??x?6x?8．
2，?1)，N(31)，． （2）由（1）可计算得点M(?3过点N作NH?AD，垂足为H．
当运动到时刻t时，AD?2OD?8?2t，NH?1?2t．
根据中心对称的性质OA?OD，OM?ON，所以四边形MDNA是平行四边形．
所以S?2S△A
．DN所以，四边形MDNA的面积
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S?(8?2t)(1?2t)??4t2?14t?8． 因为运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t?4．
2所以，所求关系式是S??4t?14t?8，t的取值范围是0≤t?4．
（3）S??4?t?所以t???7?81??，（0≤t?4）． 4?4781时，S有最大值． 44提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD，MN，所以当AD?MN时四边形MDNA是矩形．
所以OD?ON．所以OD?ON?OH?NH．
所以t?4t?2?0．解之得t1?6?2，t2??6?2（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二．二次函数与四边形的面积
例1. 解：（1）解法一：设y?ax2?bx?c(a?0)，
22222212x+x-4， 2令y=0，求出x1=-4,x2=2；令x=0，得y=-4， 任取x,y的三组值代入，求出解析式y=∴ A、B、C三点的坐标分别是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . ·········
55解法二：由抛物线P过点(1，-)，(-3，-)可知，
22抛物线P的对称轴方程为x=-1，
又∵ 抛物线P过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知， 点A、B、C的坐标分别为 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) .
ADDG（2）由题意，，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m， ········ =AOOCBEEF又 ，EF=DG，得BE=4-2m，∴ DE=3m， =BOOC∴sDEFG=DG·DE=(4-2m) 3m=12m-6m (0＜m＜2) .
2
注：也可通过解Rt△BOC及Rt△AOC，或依据△BOC是等腰直角三角形建立关系求解.
2
(3)∵SDEFG=12m-6m (0＜m＜2)，∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6 . 当矩形面积最大时，其顶点为D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-2)，E(-2，0)，
2222设直线DF的解析式为y=kx+b，易知，k=，b=-，∴y=x-，
33331又可求得抛物线P的解析式为：y=x2+x-4，
2 10
二次函数与四边形的动点问题（含答案）
