§2.2函数的性质
一、知识导学
1.函数的单调性：
（1）增函数：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时，都有f(x1) （2）减函数：一般地，设函数y?f(x)的定义域为I，如果定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数. （3）单调性（单调区间）如y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在这区间上具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间. 2.函数的奇偶性： （1）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. （2）一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x) =f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. （3）如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么就说f(x)具有奇偶性. 3.函数的图像：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到平面内的一个点（x0,f(x0)），当自变量取遍函数定义域内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点的集合（点集）组成的图形就是函数y=f(x)的图像. 二、疑难知识导析 1. 对函数单调性的理解， 函数的单调性一般在函数的定义域内的某个子区间上来讨论，函数y=f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制. 2.对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广，可得函数f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的奇偶性是其相应图像的特殊的对称性的反映. 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求. 3. 用列表描点法总能作出函数的图像，但是不了解函数本身的特点，就无法了解函数图像的特点，如二次函数图像是抛物线，如果不知道抛物线的顶点坐标和存在着对称轴，盲目地列表描点是很难将图像的特征描绘出来的. 三、经典例题导讲 [例1]判断函数y?()的单调性. 13?x错解： 0?11?1,?y?()?x是减函数 33错因：概念不清，导致判断错误.这是一个复合函数，而复合函数的单调性（或单调区间），仍是从基础 函数的单调性（或单调区间）分析，但需注意内函数与外函数的单调性的变化.当然这个函数可化为 y?3x，从而可判断出其单调性. 1 正解： 令t??x，则该函数在R上是减函数，又0?11?1,?y?()t在R上是减函数， 33∴ y?()是增函数 13?x[例2]判断函数f(x)?(1?x)1?x的奇偶性. 1?x错解：∵f(x)?(1?x)1?x1?x＝(1?x)2?1?x2 1?x1?x22 ∴f(?x)?1?(?x)?1?x?f(x) ∴f(x)?(1?x)1?x是偶函数 1?x错因：对函数奇偶性定义实质理解不全面.对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件. 正解：f(x)?(1?x)1?x1?x?0??1?x?1 有意义时必须满足 1?x1?x即函数的定义域是｛x｜?1?x?1｝，由于定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是 偶函数 [例3] 判断f(x)?log2(x?x2?1)的奇偶性. x2?1) 2错解：∵f(?x)?log2(?x?(?x)?1)?log2(?x? ∴f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x) 所以该函数既不是奇函数也不是偶函数 错因：对数运算公式不熟悉，或者说奇偶性的判别方法不灵活.定义中f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x)，也可改为研究f(-x)+f(x) =0 ，f(-x)-f(x)＝0是否成立. 2正解：方法一：∵f(?x)?log2(?x?(?x)?1)?log2(?x?x2?1) ＝log21x?x2?1＝?log2(x?x2?1)＝－f(x) ∴f(x)是奇函数 方法二：∵f(x)?f(?x)?log2(x?＝log2[(x?x2?1)?log2(?x?x2?1) x2?1)?(?x?x2?1)?log21?0 f(?x)??f(x) ∴f(x)是奇函数 2 [例4]函数y=5?4x?x2的单调增区间是_________. 2错解：因为函数g(x)?5?4x?x的对称轴是x??2，图像是抛物线，开口向下，由图可知 g(x)?5?4x?x2在(??,?2]上是增函数，所以y=5?4x?x2的增区间是(??,?2] 错因：在求单调性的过程中注意到了复合函数的单调性研究方法，但没有考虑到函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，从而忽视了函数的定义域，导致了解题的错误. 正解：y=5?4x?x2的定义域是[?5,1]，又g(x)?5?4x?x2在区间[?5,?2]上增函数，在区间 [?2,1]是减函数，所以y=5?4x?x2的增区间是[?5,?2] [例5] 已知奇函数f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f(x－3)+f(x－3)<0,求x的取值范围. 错解：∵f(x)是奇函数，∴f(x－3)<－f(x－3)= f (3－x),又f(x)在(－3，3)上是减函数， 22 ∴x－3>3－x,即x+x－6>0 解得x>2或x<－3 又 f(x)是定义在(－3，3)上的函数， 所以2＜x＜3 错因：只考虑到奇函数与单调性，而没有正确理解函数的定义域. 2 2 2 ??3?x?3?3?0?x?6正解：由?,故0 分析：显然直接用已知函数的解析式列表描点有些困难，除去对其函数性质分析外，我们还应想到对已知解析式进行等价变形.在变换函数解析式中运用了转化变换和分类讨论的思想. 解：(1)当x≥2时，即x-2 ≥0时， 当x＜2时，即x-2＜0时， 2 2 2 2 129?(x?)?(x?2)??24所以y?? 19??(x?)2?(x?2)?24? 3 这是分段函数，每段函数图像可根据二次函数图像作出(见图) (2)当x≥1时，lgx≥0，y=10lgx=x； 当0＜x＜1时，lgx＜0， 所以 这是分段函数，每段函数可根据正比例函数或反比例函数作出.(见图) 点评：作不熟悉的函数图像，可以变形成基本函数再作图，但要注意变形过程是否等价，要特别注意x，y的变化范围.因此必须熟记基本函数的图像.例如：一次函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数，及三角函数、反三角函数的图像. [例7]若f(x)= ax?1在区间（－2，＋?）上是增函数，求a的取值范围 x?2解：设?2?x1?x2,f(x1)?f(x2)?ax1?1ax2?1 ?x1?2x2?2? ?(ax1?1)(x2?2)?(ax?2)21)(x?1(x1?2)(x2?2)(ax1x2?2ax1?x2?2)?(ax1x2?2ax2?x1?2) (x1?2)(x2?2)2ax1?x1?2ax2?x2(2a?1)(x1?x2)?(x1?2)(x2?2)(x1?2)(x2?2)ax?1在区间（－2，＋?）上是增函数得 x?2? 由f(x)= 1f(x1)?f(x2)?0?2a?1?0 ∴a＞ 2点评：有关于单调性的问题，当我们感觉陌生，不熟悉或走投无路时，回到单调性的定义上去，往往给我们带来“柳暗花明又一村”的感觉. [例8] 已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f(1,1)都有f(x)+f(y)=f( 1)=－1,当且仅当0 4 解：证明：(1)由f(x)+f(y)=f( x?xx?y),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.21?xy1?x∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0 x2?x1) 1?x1x2∵0 x2?x1>0, 1?x1x2又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0 1?x2x11?x1x2 即f(x2) ∴f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上为减函数. 点评：本题知识依托：奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想.对函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力要求较高. 如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得. 对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)，判定四、典型习题导练 1.某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了，再走余下的路，下图中y轴表示离学校的距离，x轴表示出发后的时间，则适合题意的图形是( ) x2?x1的范围是解题的焦点. 1?x1x2 2. 若函数f(x) 是定义在R上的偶函数，在 (??,0]上是减函数，且f(2)?0 ，则使得f(x)?0的x的取值范围是 （ ） A.(??,2) B. (2,??) C. (??,?2)?(2,??) D.（－2，2） 3. 若函数f(x)?logn(x?x2?2a2)是奇函数，则a= . 4. 已知y?f(x)是定义在R上的单调函数，实数x1?x2， ???1,a? x1??x2x??x1,??2，若|f(x1)?f(x2)|?|f(?)?f(?)|，则（ ） 1??1??5 A.??0 B.??0 C.0???1 D.??1. 5.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?(0,??)时，f(x)＝x(1?3x)，求f(x). 6. 已知函数f(x)的定义域为R，且对m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且f(－ 1)=0, 21时，f(x)>0. 2(1)求证：f(x)是单调递增函数； 当x>－ (2)试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证. ax2?17.已知函数y=f(x)= (a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且 bx?c5f(1)<. 2(1)试求函数f(x)的解析式； (2)问函数f(x)图像上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 6
高三数学总复习2.2函数的性质教学案新人教版必修1
