等腰三角形
巧用“三线合一〞证题
“三线合一〞是等腰三角形的一条特殊性质，在一些几何题的证题过程中有着广泛的应用。本文结合实例说明其应用，供参考。 一. 直接应用“三线合一〞
例1. ，如图1，AD是?ABC的角平分线，DE、DF分别是?ABD和?ACD的高。 求证：AD垂直平分EF
A 1 2 E F B D C 图1
分析：从此题的条件和图形特征看，欲证AD垂直平分EF，因为有?1??2，所以只要证?AEF为等腰三角形即可 证明：?DE?AB，DF?AC ?1??2，AD?AD
?Rt?AED?Rt?AFD
?AE?AF 又?1??2
?AD垂直平分EF
例2. 如图2，?ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的高，AD的中点为M，CM的延长线交AB于点K，求证：AB?3AK
A K M E B D C
分析：可考虑作DE//CK交AB于E，因为M是AD的中点，所以K是AE的中点，只要证E是BK的中点，问题可得到解决。由于有AB?AC，AD?BC，所以就想到用“三线合一〞。
证明：过点D作DE//CK交BK于点E
1
图2 ?AB?AC，AD?BC ?BD?DC，?BE?EK ?AM?MD，?AK?KE ?AK?KE?EB ?AB?3AK
二. 先连线，再用“三线合一〞
例3. 如图3，在?ABC中，?A?90?，AB?AC，D是BC的中点，P为BC上任一点，作PE?AB，PF?AC，垂足分别为E、F 求证：〔1〕DE＝DF；〔2〕DE?DF
A E F B D P C 图3
分析：〔1〕欲证二线段相等，容易想到利用全等三角形。观察DE为?BDE或?PDE的一边，DF为?DFP或?DFC的边，但它们都没有全等的可能。由于D为等腰直角三角形的底边BC上的中点，于是我们想到连结AD一试，这时容易发现?AED??CFD或
?BDF??ADF
问题得证。
〔2〕欲证DE?DF，只要证?ADE??ADF?90?，即可 但由〔1〕已证出?ADE??CDF 又?ADF??CDF?90，故问题解决 证明：连结AD。?D是BC的中点
? ?BAC?90，AB?AC
?1BC 2 DA平分?BAC，AD?BC
1? ??DAB??DAC??BAC?45
2 ??B?45?
?AB?AC，PF?AC，PE?AB ?四边形PEAF是矩形
?PE?FA ?AD?BD? ??BPE?45??B
??BE?PE?AF 又?AB?AC，??E?CF
又?EAD??FCD?45，AD?DC ??AED??CFD ?DE?DF
〔2〕??AED??CFD ??ADE??CDF
2
? 又??ADF??CDF?90? ??ADF??ADE?90? 即DE?DF
三. 先构造等腰三角形，再用“三线合一〞
例4. 如图4，四边形ABCD中，?ACB??ADB?90?，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN?CD
D A M B N C
分析：由于MN与CD同在?MCD中，又N为CD的中点，于是就想到证?MCD为等腰三角形，由于MD、MC为Rt?ADB、Rt?ACB斜边AB上的中线，因此
图4 MD?MC?1AB，所以，问题容易解决。 2 证明：连结DM、CM
??ACB??ADB?90?，M是AB的中点 ?DM?CM?1AB 2 ??CMD是等腰三角形
又?N是CD的中点，?MN?CD
例5. 如图5，?ABC中，BC、CF分别平分?ABC和?ACB，AE?BE于E，AF?CF于F，求证：EF//BC
A F E 1 2 B N M C 图5
分析：由BE平分?ABC、AE?BE容易想到：延长AE交BC于M，可得等腰?BMA，E为AM的中点；同理可得等腰?CAN，F是AN的中点，故EF为?AMN的中位线，命题就能得证。
证明：延长AE、AF分别交BC于M、N ??1??2，AE?BE ??BAM为等腰三角形
即AB?MB，?AE?EM 同理AF?FN
?EF为?AMN的中位线 ?EF//MN，?EF//BC
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“三线合一”证题
