9. 己知方程
b3(x?1)?1?ax有无数多解，求a、b的值。 22
第二篇 二元一次方程的整数解
第一部分 基本方法
1. 二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b的最大公约数能整除c,则方程有整数解。即 如果（a,b）|c 则方程ax+by=c有整数解
显然a,b互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x－2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 返过来也成立，方程9x+3y=10和 4x－2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b）中的a,b实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法：
若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k来表示它的通解（即所有的解）。k叫做参变数。
方法一，整除法：求方程5x+11y=1的整数解 解：x=
1?11y1?y?10y1?y=??2y (1) , 5551?y，则y=1－5k (2) , ?k(k是整数）
5 设
把（2）代入（1）得x=k－2 (1－5k)=11k－2
∴原方程所有的整数解是??x?11k?2（k是整数）
?y?1?5k方法二，公式法：
设ax+by=c有整数解
?x?x0?x?x0?bk则通解是（x0,y0可用观察法） ???y?y0?y?y0?ak1， 求二元一次方程的正整数解：
① 出整数解的通解，再解x,y的不等式组，确定k值 ② 用观察法直接写出。
第二部分 典例精析
例1 求方程5x－9y=18整数解的能通解
例2 求方程5x+6y=100的正整数解
例3 甲种书每本3元，乙种书每本5元，38元可买两种书各几本？
第三部分 典题精练 1. 求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x－11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2. 求方程的正整数解：①5x+7y=87, ②5x+3y=110
3. 一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯
长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4. 兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5. 下列方程中没有整数解的是哪几个？答： （填编号）
③ 4x＋2y=11, ②10x－5y=70, ③9x+3y=111, ④18x－9y=98, ⑤91x－13y=169, ⑥120x+121y=324.
6. 一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小这军同学得48分，他最多得几分？
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