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| |防灾科技学院
| 2007~2008学年 第二学期期末考试概率论与数理统计试卷（A） |
|使用班级06604/ 06605/06606 答题时间120分钟
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题号 一 二 三 四 五 总分 | 得分
装
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| |一 阅卷教师 填空题（每题2分，共20分）
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得 分 |
订 1、已知事件A，B有概率P(A)?0.4，P(B)?0.5，条件概率P(B|A)?0.3，
| |则P(A?B)? 0.62 ．
| 2、设X~b(n,p)，E(X)?2.4，D(X)?1.44，则n?__6___，p?__0.4___。
； |
| 3、若X~?(?) 且P(X?1)?3P(X?2)，则?? 2/3 ；
|
??0,x??1线 |4、随机变量
X的分布函数是F(x)???0.4,?1?x?1，
?0.6,1?x?3则X的分布律是
| ??1,3?x| X?113| pk0.40.20.4，P(?1?X?3)? 0.4 ； | ?x| 5 、连续型随机变量的分布函数为 F(x)???1?e?,x?0，则概率密度函数为|
?0x?0| ?xf(x)????e?,x?0； |
?0x?01
6、若X~N(2,4),Y~N(1,2)且X与Y相互独立，则X?2Y~N(0,12)；
7、若随机变量X，E(X)?1,D（ X）?2，则利用切比雪夫不等式估计概率 P（|X-1|?3）? 7/9 ；
8、若总体X~N(?,?2)，则样本均值X?1n?2n?Xi~N(?,)；。
i?1n9、评价估计量的三个常用标准是： 无偏性、有效性和相合性 。
10、已知灯泡寿命X~N(?,1002)，今抽取25只灯泡进行寿命测试，得样本x?1200小时，则?的置信度为95%的置信区间是 (1160.8,1239.2) （z0.025?1.96）。
阅卷教师 二、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）
得 分
1、设A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ A ）（A）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”. （B）“甲种产品滞销”.
（C）“乙种产品畅销”. （D）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”.
2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75. 则射击次数的数学期望与方差分别为 （ D ）
(A)43与94； (B)43与916； (C)14与94； (D) 43与49．
3、设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是（ B ） （A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?D(X)?D(Y).
（C）D(X?Y)?D(X)?D(Y). （D）D(XY)?D(X)D(Y). 4、若X~N(0,1)，则P(|X|?2=（ A ）
（A）2[1??(2)]；（B）2?(2)?1；（C）2??(2)；（D）1?2?(2)。
5、设?1，?2是参数?的无偏估计、D(?1)?D(?2)且相互独立，以下估计量中最有效的为 （ D ）
(A)?1??2； (B)?1??2； (C)13?2111?3?2； (D)2?1?2?2.
三阅卷教师 （本大题共4小题，每题8分，共32分。）
得 分
1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%、35%、40%，并且在各自的产品里，不合格品各占5%、4%、2%。 问：（1）全部螺丝钉的不合格品率为多少？（2）若现在从产品中任取一件恰是不合格品，则该不合格品是甲厂生产的概率为多大？
解：设A1表示“螺丝钉由甲台机器生产”，A2表示“螺丝钉由乙台机器生产”，
A3表示“螺丝钉由丙台机器生产”，B表示“螺丝钉不合格”。
（1）由全概率公式P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345； （5分） （2）由贝叶斯公式P(AP(A1)P(BA)1B)??0.25?0.05P(B)0.0345?0.362319 （3分）
2、若X~N(0,1)，Y?eX，求Y的概率密度函数。 解：因为当y?0时，Y?eX?y是不可能事件，所以FY(y)?P{Y?y}?0；
又当y?0时，F)?P{Y?y}?P{eXY(y?y}?P{X?lny}?FX(lny)（5分）
??(lny)2所以Y的概率密度函数f(y)??1e2Y(y)?FY'??1y,y?0,（3分） ?2??0,,y?0.3、随机变量X的概率密度为
f(x)???ax?1,0?x?2,?0,其它. 求（1）常数a； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1?X?3)
解：（1）因为
??2??f(x)dx??0(ax?1)dx?2a?2?1，所以a??1/2. （3分）
??0,x?0,?0,x?0,（2）因为F(x)??x??f(t)dt????x(?1?t?1)dt,0?x?2???x?x2,0?x?2,（?024分）
??4?1,x?2.??1,x?2.2
（3）因为X为连续型随机变量，P{1?X?3}?F(3)?F(1)?1?(1?1)?144。（4分） 4、设(X,Y)的联合密度为 f(x,y)?k(1?x2)(1?y2) （1）求常数k；（2）求(X,Y)落入以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率; (3) X,Y是否独立？ 解：（1） 因为
?????????f(x,y)dxdy?k?1??1?x2dx??1??1?y2dy?k?2?1，所以k?1?2。 （2分）
（2）
?1?1f(x,y)dxdy?11111100?2?01?x2dx?01?y2dy?16。 （2分）
(3) f1?X(x)?1?2???(1?x2)(1?y2)dy?11?(1?x2)， f1?Y(y)?1?2???(1?x2)(1?y2)dx?11?(1?y2)，
所以 f(x,y)?fX(x)fY(x)，X,Y相互独立. （3分）
阅卷教师 四、 （本大题共2小题，每小题8分，共16分） 得 分 1、
二维随机变量(X,Y)的联合分布律为
XY?101
00.10.30.210.20.10.1
（1）求X,Y的边缘分布律；（2）求P(X?Y?0)。
解：.（1）P(X??1)?0.1?0.2?0.3，P{X?0}?0.3?0.1?0.4，
P{X?1}?0.2?0.1?0.3，
P{Y?0}?0.1?0.3?0.2?0.6，
P{Y?1}?0.2?0.1?0.1?0.4。 （5分）
（2）P(X?Y?0)?P{X?0,Y?0}?P{X??1,Y?1}?0.5。 （3分） 2、已知二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度函数为
f(x,y)???Ax,0?x?10?y?x?0其它
（1）求A；（2）求E(X?Y)。
解：（1）因为
???f(x,y)dxdy??1dx?xAxdy??1Ax2dx?A?????0003?1,所以A?3。（4分）(2)E(X?Y)?????????(x?y)f(x,y)dxdy??10dx?x0(x?y)3xdy??13302x3dx?8（。
4分）
阅卷教师 五、（共2 小题，每小题11分，共22分）
得 分 1、有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3
米。现从木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根
小于3米的概率。
（已知?(2)?0.9772,?(2.5)?0.9938,?(3)?0.9987，根据需要选用。） 解：因为木柱中80%的长度不小于3米，所以其小于3米的概率为0.2，设X为100根木柱中长度小于3米的根数，则X~b(100,0.2)，其分布律为
P{X?k}???100??k100?k?k???0.20.8，k?0,1,?,100.E(X)?20，D(X)?16，（6分） 用棣莫佛-拉普拉斯定理，
P{X?30}?1?P{X?30}?1?P{X?2030?2016?16} （5分） ?1??(2.5)?1?0.9938?0.0062
3
?2、设随机变量X的分布密度函数f(x，?)??1???，0?x??，
?0，其他??0未知。X1,X2,L,Xn为取自总体X的一个样本，
（1）求?的矩估计量??1和极大似然估计量??2；
（2）问：??1与??2是否是?的无偏估计? 为什么？（要求写出证明过程）
解：（1） θ的矩估计量为 ??1?2X， (4分) θ的最大估计量为 ??2?max{1?i?nXi} (4分) （2）由于E(??2n2n?1)?E(2X)??E(Xi)?i?1n???，故??n1是θ的无偏估计。 i?12 (1分)
由于 ???nzn?12?max{1?i?nXi}:fM(z)???n,z?[0,?]， 有 ???0,z?[0,?]???n?1 E(??2)?zfnM(z)dz?????znz0?ndz?n?1??? 所以??2不是θ的无偏估计。 (2分)
07-08II概率论与数理统计试卷(A)参考答案
