课时跟踪检测（七） 数系的扩充和复数的概念
层级一 学业水平达标
1．以3i－2的虚部为实部，以3i＋2i的实部为虚部的复数是 ( ) A．3－3i C．－2＋2i
22
．3＋i .2＋2i
解析：选A 3i－2的虚部为3,3i＋2i＝－3＋2i的实部为－3，故选A. 2．4－3a－ai＝a＋4ai，则实数a的值为( ) A．1 C．－4
??4－3a＝a，
解析：选C 由题意知?2
?－a＝4a，?
2
2
2
B．1或－4 D．0或－4
解得a＝－4.
3．下列命题中：①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z1－z2)＋(z2－z3)＝0，则z1＝z2＝z3；④若实数a与
2
2
ai对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选A ①取x＝i，y＝－i，则x＋yi＝1＋i，但不满足x＝y＝1，故①错； ②③错；对于④，a＝0时，ai＝0，④错，故选A.
4．复数z＝a－b＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( ) A．|a|＝|b| C．a＞0且a≠b
B．a＜0且a＝－b D．a≤0
2
2
解析：选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( ) A.π
4
B.π5或π 44
π
C．2kπ＋(k∈Z)
4π
D．kπ＋(k∈Z)
4
??cos θ＝sin θ，
解析：选D 由复数相等定义得?
?sin θ＝cos θ，?
∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋
π
(k∈Z)，故选D. 4
6．下列命题中：①若a∈R，则ai为纯虚数；②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；③两个虚数不能比较大小；④x＋yi的实部、虚部分别为x，y.其中正确命题的序号是________．
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解析：①当a＝0时，0i＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；④x＋yi中未标注x，y∈R，故若x，y为复数，则x＋yi的实部、虚部未必是x，y.
答案：③
7．如果(m－1)＋(m－2m)i＞1则实数m的值为______．
??m－2m＝0，
解析：由题意得?2
??m－1＞1，
2
2
2
解得m＝2.
答案：2
8．已知z1＝－3－4i，z2＝(n－3m－1)＋(n－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，
2
2
n＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
??n－3m－1＝－3，
?2
?n－m－6＝－4?
2
2
??m＝2，
??
?n＝±2.?
答案：2 ±2
9．设复数z＝log2(m－3m－3)＋log2(3－m)i，m∈R，如果z是纯虚数，求m的值．
??3－m＞0，
解：由题意得?log(m－3m－3)＝0，
??log(3－m)≠0，
222
m2－3m－3＞0，
解得m＝－1.
10．求适合等式(2x－1)＋i＝y＋(y－3)i的x，y的值．其中x∈R，y是纯虚数． 解：设y＝bi(b∈R且b≠0)，代入等式得(2x－1)＋i＝bi＋(bi－3)i， 即(2x－1)＋i＝－b＋(b－3)i，
??2x－1＝－b，
∴???1＝b－3，
3??x＝－，
2解得???b＝4.
3
即x＝－，y＝4i.
2
层级二 应试能力达标
1．若复数(a－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( ) A．a＝－1 C．a≠－1
2
2
B．a≠－1且a≠2 D．a≠2
2
解析：选C 若复数(a－a－2)＋(|a－1|－1)i不是纯虚数，则有a－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.故应选C.
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2．已知集合M＝{1，(m－3m－1)＋(m－5m－6)i}，N＝{1,3}，M∩N＝{1,3}，则实数
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m的值为( )
A．4 C．4或－1
2
B．－1 D．1或6
??m－3m－1＝3，
解析：选B 由题意知?2
??m－5m－6＝0，
2
∴m＝－1.
3．已知关于x的方程x＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( )
A．3＋i C．－3－i
2
B．3－i D．－3＋i
解析：选B 由题意知n＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
??n＋mn＋2＝0，
即?
?2n＋2＝0.?
2
??m＝3，
解得?
?n＝－1.?
∴z＝3－i，故应选B.
4．若复数z1＝sin 2θ＋icos θ，z2＝cos θ＋i3sin θ(θ∈R)，z1＝z2，则θ等于( )
A．kπ(k∈Z) π
C．2kπ±(k∈Z)
6
π
B．2kπ＋(k∈Z)
3π
D．2kπ＋(k∈Z)
6
?sin 2θ＝cos θ，
解析：选D 由复数相等的定义可知，?
?cos θ＝3sin θ.
∴cos θ＝
31π
，sin θ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z，故选D. 226
2
2
5．已知z1＝(－4a＋1)＋(2a＋3a)i，z2＝2a＋(a＋a)i，其中a∈R.若z1＞z2，则a的取值集合为________．
2a＋3a＝0，??2
解析：∵z1＞z2，∴?a＋a＝0，
??－4a＋1＞2a，
2
∴a＝0，故所求a的取值集合为{0}． 答案：{0}
6．若a－2i＝bi＋1(a，b∈R)，则b＋ai＝________.
??a＝1，
解析：根据复数相等的充要条件，得?
??b＝－2，
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∴b＋ai＝－2＋i. 答案：－2＋i
7．定义运算值．
＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的
解：由定义运算＝ad－bc，
得＝3x＋2y＋yi，
故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.
??x＋y＝3x＋2y，
因为x，y为实数，所以有?
?x＋3＝y，???2x＋y＝0，
得?
?x＋3＝y，?
得x＝－1，y＝2.
8．已知集合M＝{(a＋3)＋(b－1)i,8}，集合N＝{3i，(a－1)＋(b＋2)i}满足M∩N?
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M，求实数a，b的值．
解：依题意，得(a＋3)＋(b－1)i＝3i，① 或8＝(a－1)＋(b＋2)i.② 由①，得a＝－3，b＝±2， 由②，得a＝±3，b＝－2.
综上，a＝－3，b＝2，或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.
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高中数学课时跟踪检测七数系的扩充和复数的概念新人教A版选修
