2018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
一、填空题（本题满分80分,每小题10分.） 1.若对任意的??[0,?2]，不等式4?2sin?cos??asin??acos??0恒成立，则实数a的
最小值为 ．
2.设数列{an}满足：a1?1，4an?1?an?1an?4an?9，则a2018? ． 3.设f(x)是定义在(0,??)上的单调函数，若对任意的x?(0,??)，都有
f[f(x)?2log2x]?4，则不等式f(x)?6的解集为 ．
x2y24.已知点P在离心率为2的双曲线2?2?1(a?0,b?0)上，F1，F2为双曲线的两个焦
ab?PF1F2的内切圆半径r与外接圆半径R之比为 ． 点，且PF1?PF2?0，则
5.设G为?ABC的重心，若BG?CG，BC?2，则AB?AC的最大值为 ．
6.一枚骰子连续投掷四次，从第二次起每次出现的点数都不小于前一次出现的点数的概率为 ．
7.设正实数x，y满足x?y?221127153???，则P?的最小值为 ． xy4x4y3*8.设数列{an}的通项公式为an?n?n，n?N，该数列中个位数字为0的项按从小到大的
顺序排列构成数列{bn}，则b2018被7除所得的余数为 ． 二、解答题（本题满分70分，第9题20分，第10题、第11题25分.）
9.已知O为坐标原点，N(1,0)，M为直线x??1上的动点，?MON的平分线与直线MN交于点P，记点P的轨迹为曲线E. （1）求曲线E的方程； （2）过点Q(?值范围.
10.对任意正整数m，n，定义函数f(m,n)如下： ①f(1,1)?1；
11,?)作斜率为k的直线l，若直线l与曲线E恰好有一个公共点，求k的取22②f(m?1,n)?f(m,n)?2(m?n)； ③f(m,n?1)?f(m,n)?2(m?n?1) . （1）求f(m,n)的解析式；
（2）设an?f(n,n)*(n?N)，Sn是数列{an}的前n项和，证明：Sn?6. n?12211.已知正数a，b满足a?b?1，求M?1?2a?2(52)?b2的最小值. 122018年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
一、填空题 1. 4 2.
65?1 5. 25 3. {x|0?x?4} 4. 236.
7 7. 6 8. 4 72二、解答题
9.解：（1）设P(x,y)，M(?1,t)，易知0?x?1.
OM因为OP平分?MON，所以MP?PN?1?t2PN，所以
ONx?1?1?t2(1?x)① y?t?1?t2(0?y)②
由①，②可得t?x?12y22y?1?()，化简即得曲线E的方程为，代入①得
1?x1?x1?xy2?x(0?x?1).
（2）记A(1,1)，B(1,?1)，则kQA?1，kQB??. 直线l的方程为y?1311?k(x?)，与抛物线方程y2?x联立，消去x得 221ky2?y?(k?1)?0.
22当直线l与抛物线y?x相切于点T时，??1?2k(k?1)?0，解得k1,2?1?3. 2当k?k1?1?33?1时，yr?，切点T在曲线E上； 221?33?1时，yr??，切点T不在曲线E上. 221?3，故所求k的取值范2当k?k2?若直线l与曲线E恰好有一个公共点，则有kQB?k?kQA或k?围为(?,1]{131?3}. 2
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