振动试验培训教材
沈国良
上海航天局808研究所
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第一章 振动基础知识
1． 周期振动和随机振动 1．1 简谐振动
最简单的周期振动是简谐振动，例如，质点沿直线x振动，它离开平衡位置的瞬时位移可用下列方程来描述
x(t)=Asin(ωt) （1.1） 式中 ω——角频率
A——振动位移的最大幅值 T——时间
图1.1表示了1.1式的振动波型。
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图1.1简谐振动信号
从（1.1）式振动的位移关系式，经过对t求导，可得到质点的振动速度信号：
V（t）=dx (t) / dt = ωAsin(ωt+π/2) （1.2） （1.1）式对t经2次求导，可得质点振动的加速度信号：
a(t)=dv（t）/dt=ω2Asin(ωt+π) (1.3) 从（1.1）式（1.2）式和（1.3）式可见，在正弦振动中，加速度、速度、位移的振动幅度与角频率有关，而相位分别超前90o和180o。
在振动中，幅度除了用峰值表示外，还可以用有效值来表示，其关系式如下：
1T2x(t)dt （1.4） ARMS = ?0T在正弦振动中，有效期值与峰值的关系为： ARMS =
1
1A （1.5） 2
1．2复杂周期振动：
任何复杂的周期振动信号都可以分解为一系列简谐振动信号之和，如下式所示：
f(t) = A+A1sin(ω1t+Φ1)+ +A2sin(ω2t+Φ2) +…+Ansin(ωnt+Φn) (1.6) 它由角频率ω1的基频和一系列倍频的谐波组成，复杂周期信号通过频谱分析仪就可以将上述基频和倍频谐波的信号分析出来。 1．3准周期振动：
如果有二个频率成分的振动，它们的频率之比不是有理数，那么这二个频率合成后不存在公共周期，这样的振动信号称为准周期信号，典型的表达如下：
x(t) =A1sin(ω1t+Φ1)+ A2sin(πω1t+Φ2) (1.7) 在传动齿轮的振动中常可见这种类型的振动信号。 1．4 瞬态振动：
系统受到瞬态振动激励，其力、位移、速度和加速度会发生突然的变化，这种现象称为冲击。在冲击作用下，系统产生的振动是非平稳的，非随机的，是短时存在的，我们在冲击试验中常用的半正弦波、后峰锯齿波和梯形波就是这种类型的信号。
半正弦波 后峰锯齿波 梯形波
图1.2 三种常用的冲击波形
1．5 随机振动：
在自然界中，大量的振动是非确定性的，事先不能确定未来的位置与振动参数的瞬时值，它不能用确定的函数关系来描述。这类振动我们称为随机振动。为了研究随机振动，我们采用统计学的方法来研究，如果随机过程的统计特性不随时间变化，称之为平稳随机过程，当整个平稳随机过程的统计特性与每个样本的统计特性相同时，称这种平稳随机过程为各态历经的过程。即时间平均等于集平均。对于各态历经的平稳随机过程，这要一个样本函数就能反映整个随机过程的特性，若随机振动信号的统计特性随时间而变时则称为非平稳随机振动。 1.5.1 平稳随机振动
由于随机振动信号的不确定性和复杂性，必须从不同的角度来研究它的统计特性，即可以从时域、幅值域、时差域和频率域等来描述。以下介绍各态历经平稳随机过程的描述方法。 a）时域描述
均值
各态历经平稳随机过程的均值μx等于样本函数的时间平均值。设T为样本长度或采样长度，则
1
1 μx= lim?x(t）dt ( 1.8 )
T??T0均方值、均方根值 均方值定义为：
T12 ?x?lim?X2(t)dt （ 1.9 ）
T??T0均方根值是均方值的正平方根。均方根值也是有效值。 方差、标准差 方差定义为：
21 ??lim?X2(t)-?xdt （ 1.10 ）
T??T02xTT??标准差是方差的正平方根。均值表示随机振动信号的直流分量，方差表示随机振动信号的交流分量，即
222??x??x ?x （ 1.11 ）
b)幅值域描述
概率密度随机变量的取值事先是不可予知的，但对于各态历经平稳随机过程信号小于某值在某一范围内的概率是确定的，并且是可以计算出来的。
概率分布函数：
随机变量X（t1）小于某个特定值x的概率Prob[X（t1）≤x]，即：
P（x，t1）= Prob[X（t1）≤x] （1.12）
对于平稳随机过程，此函数与时间无关，即
P（x，t）= P（x） （1.13）
对于各态历经的随机过程，按下式计算：
?t?P（x）= limT??iT （1.14）
概率密度函数：
随机变量x（t）在给定幅值上的分布密度称之为概率密度函数，记作p（x），它是概率分布函数的导数：
dPp（x）= （1.15）
dx许多实际问题的概率密度函数可以认为是正态分布的 ，如下式所示
p（x）=
1
12??xe?(x??)22?2 (1.16)
图1.3 正态分布曲线
c）时差域描述 自相关函数:
自相关函数描述了随机过程某时刻t的数值与另一时刻(t+τ)的数值之间的依赖关系，即描述了随机过程不同时刻之间的相关性：
1Rxx（τ）= lim?x（t)x(t??)dt （1.17）
T??T0自相关函数在随机振动分析中是一个很重要的参数，不同形式的时间历程都有其相对应的自相关图，Rxx（τ）曲线收敛的快慢在一定程度程度上反映随机信号所含频率成分的多少，反映波形平缓和陡峭的程度，例如，正弦波的自相关函数不收敛，白噪声信号的自相关函数收敛最快。 互相关函数
若随机振动信号x（t）是一随机过程的一个样本函数，而y（t）是另一随机过程的一个样本函数，则这两组随机数据的互相关函数定义为：
T1Rxy（τ）= lim?x（t)y(t??)dt （1.18）
T??T0互相关函数Rxy（τ）是τ的函数，它描述两组数值之间的依赖关系。 d）频域描述
自功率谱密度函数：
功率谱密度函数是描述随机振动的频率构成，它可由自相关函数推导出来。根据富里叶变换理论：
T1Sxx（ω）=
2???j?tR(?)ed? （1.19）
xx???Sxx（ω）的逆变换为Rxx（τ）
?R xx（τ）=?Sxx(?)ej?td? （1.20）
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振动基础技术讲义讲解
