二次函数与四边形
一．二次函数与四边形的形状
例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线y?x2?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平 行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线x?A 7的抛物线经过点 2y A（6，0）和 B（0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
②是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的O 坐标；若不存在，请说明理由．
x?7 2B(0,4) F A(6,0) E x ，0)和B(5，0)的抛练习2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x轴交于点A(14)，抛物线l2与l1关于x轴对称，顶点为C?． 物线l1的顶点为C(3，（1）求抛物线l2的函数关系式；
4)，l2上的点P与l1上的点P?始终关于x轴对称，则当点P运动到（2）已知原点O，定点D(0，何处时，以点D，O，P，P?为顶点的四边形是平行四边形？
（3）在l2上是否存在点M，使△ABM是以AB为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，y l2 求出点M的坐标；若不存在，说明理由． 5 E 4 3 练习3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是2 1 A B A(?4，0)，B(?2，0)，E(0，8)．
1 2 3 4 5 x ?1 O ?1 （1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式； ?2 ?3 （2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于?4 ?5 C? C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒2个单位
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l1
的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．
二．二次函数与四边形的面积
2
例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x y … … -3 5- 2-2 -4 1 5- 22 0 … … (1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．
（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，
B，C的坐标（点M的对应点为A， 点N的对应点为B， 点H的对应点为C）；
（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；
（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；
若不存在，请说明理由；
（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．
练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD的边长为2cm，在对称中心O处有一点P，Q同时从点A出发，点P沿A?B?C方向以每秒2cm的速度运动，到点C停止，点Q沿A?D方向以每秒1cm的速度运动，到点D停止．P，Q两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x秒后橡皮筋扫过的面积为ycm．
（1）当0≤x≤1时，求y与x之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x值；
（3）当1≤x≤2时，求y与x之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时∠POQ的变化范围；
A
2图10
钉子．动
B P
O Q
C
A B
D P
C
O Q D
3 2
2 / 15
y
1
O
1
2 x
（4）当0≤x≤2时，请在给出的直角坐标系中画出y与x之间的函数图象．
练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l1：y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点，B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合)，抛物线l2与l1关于x轴对称，以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1) 求l2的解析式；
(2) 求证：点D一定在l2上；
(3) □ABCD能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值
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三．二次函数与四边形的动态探究
例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片
OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，点P是OA边上的动点(与点O、A不重合)．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
(1)设P(x，0)，E(0，y)，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
(2)如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．
yCEOFBDP图1
AxCyDBEFOPAx图2
例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由． 例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD沿对角线A平移，平移后的矩形为EFGH（A、E、C、G始终在同一条直线上），当点E与C重时停止移动．平移中EF与BC交于点N，GH与BC的延长线交于点M，EH与DC交于点P，FG与DC的延长线交于点Q．设S表示矩形PCMH的面积，S?表示矩形NFQC的面积． （1） S与S?相等吗？请说明理由． 3 / 15 （2）设AE＝x，写出S和x之间的函数关系式，并求出x取何值时S有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE，当AE为何值时，?ABE是等腰三角形． DADA练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（40），B（3，4），C（0，4）． 点x，点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度M从O出发以每秒2个单位长度的速度向PA运动；PEHHE向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ． CMM（1）点 B （填M或N）能到达终点； BNCyNF（2）求△AQM的面积S与运动时间 GQt的函数关系式，并写出自CNBFQG变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大； 图10 图11 （3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标， 若不存在，说明理由． OMQPAx 图12 练习2..(江西省) 25．实验与探究 （1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），写出图1， 2)， ， ； 2，3中的顶点C的坐标，它们分别是(5，y B(1，2) y C D(4，0) B(c，d) y C D(e，0) B(c，d) C O (A) 图1 x O (A) 图2 x O A(a，b) D(e，b) x 图3 （2）在图4中，给出平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标（如图所示），求出顶点C的坐标（C点坐标用含a，b，c，d，e，f的代数式表示）； y B(c，d) C D(e，f) A(a，b) O 图4 x 归纳与发现 （3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为A(a，b)，B(c，d)，C(m，n)，D(e，f)（如图4）时，则四个顶点的横坐标a，c，m纵坐标b，d，n，f之间的等量关，e之间的等量关系为 ；系为 （不必证明）； 运用与推广 （4）在同一直角坐标系中有抛物线y?x?(5c?3)x?c和三个点G??2?15??19?c，c?，S?c，c?，?22??22?4 / 15 H(2c，0)（其中c?0）．问当c为何值时，该抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四 边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P点坐标． 答案： 一．二次函数与四边形的形状 例1.解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3∴A（-1，0）B（3，0）； 将C点的横坐标x=2代入y?x2?2x?3得y=-3，∴C（2，-3）∴直线AC的函数解析式是y=-x-1 （2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1）， E（(x,x2?2x?3)∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x2?2x?3)??x2?x?2 ∴当x?19时，PE的最大值= 24（3）存在4个这样的点F，分别是F,0),F2(?3,0),F3(4?7，0),F4(4?7,0) 1(1练习1.解：（1）由抛物线的对称轴是x?7，可设解析式为 2y7y?a(x?)2?k．把A、B两点坐标代入上式，得 2x?7 272?a(6?)?k?0,?225?2a?,k??. 解之，得?736?a(0?)2?k?4.??2故抛物线解析式为y?B(0,4) F O E A(6,0) 2725725(x?)2?，顶点为(,?). 26326x （2）∵点E(x,y)在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合 y?2725(x?)2?， 326∴y<0，即 －y>0,－y表示点E到OA的距离．∵OA是OEAF的对角线， ∴S?2SOAE因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的 取值范围是1＜x＜6． ① 化简，得(x?)?根据题意，当S = 24时，即?4(x?)?25?24． 17?2??OA?y??6y??4(?)2?25． 227227221. 解之，得x1?3,x2?4. 4故所求的点E有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）． 点E1（3，－4）满足OE = AE，所以OEAF是菱形； 点E2（4，－4）不满足OE = AE，所以OEAF不是菱形． ② 当OA⊥EF，且OA = EF时，OEAF是正方形，此时点E的 坐标只能是（3，－3）． 而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E， 使OEAF为正方形． 5 / 15 y 5 4 3 2 1 E l2 ?1 O ?1 1 2 A B 3 4 5 x
二次函数与四边形的动点问题（含标准答案）
