2015春课件作业 第一部分 集合论
第一章 集合的基本概念和运算
1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 （选择题） [ C ]
A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ? A。
1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 （选择题） [ D ]
A．C； B．A； C．B； D． ? 。
1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确 （是非题）
（1） N ? Q，Q ∈S，则 N ? S， ［ 错 ］ （2）-1 ∈Z，Z ∈S， 则 -1 ∈S 。 ［ 错 ］
1-4 设集合 B = {4，3} ∩ ? ， C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }，
E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}，F = { 4，? ，3，3}，
试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 （选择题） [ A ]
A. C; B. D; C. E; D. F.
1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [ D ]
A. N; B. Z; C. Q; D. Z+
1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题)
第二章 二元关系
2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下： R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题） 求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。 R = {<2，3>，<1,2>，<1,3>}∪Ix；
(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}； (3)(3)R 的性质:自反,反对称,传递性质.
2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即 R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}，
试给出 dom（R 。R）。 （选择题） [ B ] A. 3； B. {3}； C. 〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。
2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数； 以及函数的性质。最后指出 f：A→B
中的双射函数。 （选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。 （2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。 （3）A = B = R， f = x 。 （4）A = B = N， f = x2 。 （5）A = B = N， f = x + 1 。
A.（1）和（2）； B.（2）和（3）； C.（3）和（4）； D.（4）和（5）
2-4 设ｆ(x)＝x+1，ｇ(x)＝x-1 都是从实数集合Ｒ到Ｒ的函数，则ｆ。ｇ＝ [ C ]
A．x+1； B．x-1； C．x； D．x2。
2-5 关系型数据库与《关系与函数》一章内容有何联系 ？（简答题）
答：关系数据库，是建立在关系模型基础上的数据库，借助于集合代数和各种函数关系等数学概念和方法来处理数据库中的数据，现实世界中的各种实体以及实体之间的各种联系均用关系模型来表示。
第三章 结构代数(群论初步) (3-1)，(3-2)为选择题 3-1 给出集合及二元运算，判断是否代数系统，何种代数系统 ？
（1）S1 = {1，1/4,1/3,1/2,2，3，4}，二元运算 * 是普通乘法。 [ A ]
A．不构成代数系统； B．只是代数系统。； C． 半群； D．群。
（2）S2 = {a1，a2，……，an}，ai ∈R，i = 1，2，……，n ；
二元运算 。定义如下：对于所有 ai，aj ∈S2，都有 ai 。aj = ai 。 [ C ] A．不构成代数系统； B．只是代数系统。； C． 半群； D．群。
（3）S3 = {0，1}，二元运算 * 是普通乘法。 [ C ]
A．不能构成代数系统； B．半群； C．独异点； D．群。
3-2 在自然数集合上，下列那种运算是可结合的 ［ A ］
A．x*y = max(x,y) ； B．x*y = 2x+y ； C．x*y = x2+y2 ； D．x*y =︱x-y︱..
3-3 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算 。，对于所有 x，y ∈Z 都有 x 。y = x - y
试问？在 Z 上二元运算 。能否构成代数系统，何种代数系统？为什麽 ？（综合题） 假设代数系统的幺元是集合中的元素 e,则一个方程来自于二元运算定义, 即e 。x = e + x - 4，
一个方程来自该特殊元素的定义的性质,
即e 。x = x.由此而来的两个方程联立结果就有: e+x = x 成立. 设y是x的逆，则一个方程为 y 。
x = y + x - 4,另一个方程为 y 。x = 4, 联立结果得到 y = 8-x；
结论是：代数系统〈 Z，。〉构成群。
第二部分 图论方法
第四章 图 以下三题分别为： 选择题 是非题 填空题 4-1 10 个顶点的简单图G中有4个奇度顶点，问 G 的补图中有 r 个偶数度顶点。[ C ]
A．r =10 ； B．r = 6； C．r = 4； D．r = 9。 4-2 是非判断：无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点。[ 是 ]
4-3 填空补缺：1条边的图 G 中，所有顶点的度数之和为 2 。
第五章 树
5-1 概述无向图与无向树的关系。 （简答题）
答：连通而不含回路的无向图称谓无向树。（1）生成树的定义--生成子图概念；（2）生成子图与母图的关系--定点数相同；（3）何种图采用生成树--连通图；（4）连通图中的那种永远不会进入任何一颗生成树中--环；（5）连通图中的那种边必然会进入其生成树中--桥。
5-2 握手定理的应用（指无向树） （计算题） （1）在一棵树中有 7 片树叶，3个3 度顶点，其余都是4 度顶点，共几个顶点 [ 11 ] （2）一棵树有两个 4 度顶点，3 个 3 度顶点，其余都是树叶，问有几片叶 [ 9 ]
5-3 求最优 2 元树：用 Huffman 算法求带权为 1，2，3，5，7，8 的最优 2 元树 T。
试问：T 的权 W（T）= ( 61 )；树高 ( 4 ) 层。 （填空题）
5-4 以下给出的符号串集合中，那些是前缀码 （是非题）
B1 = {0，10，110，1111}； [ 是 ] B2 = {1，01，001，000}； [ 是 ] B3 = {a，b，c，aa，ac，aba，abb，abc} [ 非] B4 = {1，11，101，001，0011} [ 非]
5-5 11 阶无向连通图 G 中有 17 条边，其任一棵生成树 T 中必有6条树枝 [ 非 ]
5-6 二元正则树有奇数个顶点。 [ 是 ] 5-7 通信中 a，b，c，d，e，f,g,h 出现的频率分别为 25%;20%;20%.15%,10%,5%,4%,1%; 试完成下列要求。 （综合题）
1、最优二元树 T； 2、二元树的权 W（T）= ； 3、每个字母的码字； 。100
60。
30。 。a 。40
15。 。c
10。 。 。20 。b
。 。 f 。 。 g h d e
编码如下：g（00000），h（00001），f（0001），d（100），e（101）,c(001),b(11),a(01)。
第三部分 逻辑推理理论 第六章 命题逻辑
6-1 判断下列语句是否命题，简单命题或复合命题。 （填空题）
（1）2月 17 号新学期开始。 （ 是简单 ）命题
（2）离散数学很重要。 （ 是简单 ）命题
（3）离散数学难学吗 ？ （ 不是 ）命题
（4）C 语言具有高级语言的简洁性和汇编语言的灵活性（ 是复合 ）命题
（5）x + 5 > 2 。 （ 不是 ）命题
（6）今天没有下雨，也没有太阳，是阴天。 （ 是复合 ）命题
6-2 将下列命题符号化. （填空题）
（1）2 是偶素数。 符号化为： p ∧ q。
（2）小李不是不聪明，而是不好学。 符号化为：p ∧ ﹃q。
（3）明天考试英语或考数学。（兼容或） 符号化为：p ∨ q。
6-3 用等值演算法求下列命题公式的主析取范式，并由此指出该公式的类型 （1）﹃（p→q）∧ q （计算题）
（2）（（p→q）∧ p）→q （计算题）
（3）（p→q）∧ q （计算题）
（1）0，永假式；（2）Σ（0，1，2，3），永真式；（3）Σ（1，3），可满足式。
6-4 令 p：经一堑；q：长一智。命题’’只有经一堑，才能长一智’’符号化为 [ B ]
A． p→q； B． q→p； C． p∧q； D． ﹁q→﹁p
6-5 p：天气好；q：我去游玩．命题 ”如果天气好，则我去游玩” 符号化为 ［ A ］
A． p→q； B． q→p； C． p∧q； D． ﹁q→p
6-6 将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。（综合题）
如果今天不下雨，则明天上体育课。今天没有下雨。所以，明天上体育课。
题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。再用不 同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。公式是重言式，所以，推理正确。 方法 1：等值演算法(略) 方法 2: 主范式法(略); 方法 3: 真值表法(略); 方法 4：构造证明法,如下:
（1）将原子命题符号化： （2）按题意构成前提：
（3）按题意构成结论： （4）证明：
方法 1：等值演算法（（p→﹃q）∧p）→﹃q ﹤＝﹥1； 方法 2: 主范式法(略); 方法 3: 真值表法(略); 方法 4：构造证明法,如下:
将公式分成前提及结论。 前提：（p→﹃q），p； 结论：﹃q；
证明： （1）（p→﹃q） 前提引入 （2） p 前提引入
（3）（p→﹃q）∧p （1）（2）假言推理
（4）﹃q 所以推理正确。
第七章 谓词逻辑
7-1 在谓词逻辑中用 0 元谓词将下列命题符号化 （填空题） （1）这台机器不能用。 ﹃F（a） 。
（2）如果 2 ＞ 3，则 2 ＞ 5。 L（a，b）→ H（a，z） 。 （1）﹃F（a）。 （2）L（a，b）→ H（a，z）。
7-2 填空题：设域为整数集合 Z＋，命题?x?y彐z（x-y = z）的真值为 1
7-3 在谓词逻辑中将下列命题符号化 （填空题）
人固有一死。 ?x（M（x）→ F（x）） 。
7-4 一阶逻辑与命题逻辑有何联系？ 举例说明。 （简答题）
《附录》习题符号集
? 空集, ∪ 并, ∩ 交,⊕ 对称差,～ 绝对补,∑ 累加或主析取范式表达式缩写 , － 普通减法, ÷ 普通除法, ㏑ 自然对数, ㏒ 对数，﹃ 非，?量词 ”所有”，”每个”，∨ 析取联结词，∧ 合取联结词，彐 量词”存在”，”有的”。
答：把命题逻辑中的符号化的命题，把句子成分展示出来，并按句子成分符号化，就变
成一阶逻辑中的公式了。例如：每个人都会死。命题逻辑中的P变成一阶逻辑中的?x（M（x）→ F（x））。
15春北京大学《离散数学》作业答案
