线性回归中的相关系数
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线性回归中的相关系数
山东 胡大波
线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法． 一、关于相关系数法
统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当xi不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是： r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）．
说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；
，?0.75?，那么负相关 （2）另外注意r的大小，如果r??0.751?，那么正相关很强；如果r???1，?0.30?或r??0.30，0.75?，那么相关性一般；如果r???0.25，0.25?，那么相关性较很强；如果r???0.75，弱．
下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线． 二、典型例题剖析
例1 测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：
父亲 身高（x） 儿子 身高（y） 64 66 74 70 60 62 65 66 67 68 70 72 （1）对变量y与x进行相关性检验；
（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．
解：（1）x?66.8，y?67，?x?44794，?yi2?44929.22，xy?4475.6，x?4462.24，
2ii?1i?110102y?4489，?xiyi?44836.4，
i?1210 所以r??xyii?11010i?nxyn22???2x?nxyi2?ny???i???i?1???i?1????
?80.46730.152?80.4?0.98， 82.04 所以y与x之间具有线性相关关系．
（2）设回归直线方程为y?a?bx，则b??xyii?11010i?10xy?10x2??xi?12i44836.4?44756?0.4685，
44794?44622.4a?y?bx?67?0.4685?66.8?35.7042．
故所求的回归直线方程为y?0.4685x?35.7042． （3）当x?73英寸时，y?0.4685?73?35.7042?69.9047， 所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为英寸．
点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型． 例2 10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：
74 71 72 68 76 73 67 70 65 74 76 75 71 70 76 79 65 77 62 72 其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩． （1）y与x是否具有相关关系；
（2）如果y与x是相关关系，求回归直线方程． 解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得
?xi?110i?710，?yi?723，x?71，y?72.3，?xiyi?51467．
i?1i?12i1010?xi?110?50520，?yi2?52541．
i?110
线性回归中的相关系数
