∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=【详解】 解:（1）
11∠CAB+∠CAF=90°，进而求出∠DAE的度数. 22?ABC?40?,?ACB?70?,
??BAC?180??70??40??70?,
AE是?BAC的平分线，
1??BAE??CAE??BAC=35?,
2在RtACD中，?CAD?90???C?20?, ??EAD??EAC??CAD?15?. （2）?ABC??,?ACB??,
??BAC?180?????,
AE是?BAC的平分线，
1111??BAE??CAE??BAC=（180?-?-?）=90?-?-?,
2222 在Rt△ACD中，?CAD?90???，
??EAD??CAE??CAD=（3）?EAD?90???-?2.
???2.
如图，作∠CAB的内角平分线AE′，
则∠DAE′=
?-?2．
因为AE是∠ACB的外角平分线， 所以∠EAE′=∠CAE+∠CAE′=所以∠DAE=90°-∠DAE′=90°-即∠DAE的度数为90??【点睛】
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．解决（3）作辅助线是关键．
111∠CAB+∠CAF=（∠CAB+∠CAF）=90°， 222?-?2.
=90?????2．
???2
5．如图1，在△ABC中，∠B=90°，分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线，且两条角平分线所在的直线交于点E． （1）∠E= °；
（2）分别作∠EAB与∠ECB的平分线，且两条角平分线交于点F． ①依题意在图1中补全图形； ②求∠AFC的度数；
（3）在（2）的条件下，射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC，设EC与AB的交点为H，射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC，射线HN与FM交于点P，若∠FAH，∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，请直接写出m，n的值．
【答案】（1）45；（2）67.5°；（3）m=2，n=﹣3． 【解析】 【分析】
11∠DAC，∠ACE=∠ACB，设∠CAF=x，∠ACE=y，22根据已知可推导得出x﹣y=45，再根据三角形外角的性质即可求得答案； （2）①根据角平分线的尺规作图的方法作出图形即可；
1②如图2，由CF平分∠ECB可得∠ECF=y，再根据∠E+∠EAF=∠F+∠ECF以及
2（1）根据角平分线的定义可得∠CAF=∠E+∠EAB=∠B+∠ECB，可推导得出45°+
145?y=∠F+y，由此即可求得答案； 22（3）如图3，设∠FAH=α，根据AF平分∠EAB可得∠FAH=∠EAF=α，根据已知可推导得出
2??22.5，再根据∠FCH+∠FPH②，由此可得∠FPH=
33∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，即可求得答案. 【详解】 （1）如图1，
∠FCH=α﹣22.5①，α+22.5=30+
∵EA平分∠DAC，EC平分∠ACB，
11∠DAC，∠ACE=∠ACB， 22设∠CAF=x，∠ACE=y， ∵∠B=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°， ∴2y+180﹣2x=90， x﹣y=45，
∵∠CAF=∠E+∠ACE，
∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°， 故答案为：45；
（2）①如图2所示，
∴∠CAF=
②如图2，∵CF平分∠ECB， ∴∠ECF=
1y， 21y ①， 2∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF， ∴45°+∠EAF=∠F+
同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB， ∴45°+2∠EAF=90°+y， ∴∠EAF=
45?y②， 2把②代入①得：45°+
145?y=∠F+y， 22
∴∠F=67.5°， 即∠AFC=67.5°；
（3）如图3，设∠FAH=α，
∵AF平分∠EAB， ∴∠FAH=∠EAF=α，
11∠AFC=×67.5°=22.5°， 33∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH， ∴45+α=67.5+∠FCH， ∴∠FCH=α﹣22.5①，
∵∠AFM=
1112∠AHC=（∠B+∠BCH）=（90+2∠FCH）=30+∠FCH， 3333∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH，
∵∠AHN=∴α+22.5=30+
2∠FCH+∠FPH，② 3把①代入②得：∠FPH=
??22.53∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH，
α﹣22.5=mα+n·，
??22.53，
解得：m=2，n=﹣3． 【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、基本作图——角平分线等，熟练掌握三角形内角和定理以及三角形外角的性质、结合图形进行求解是关键.
6．已知，在ABC中，∠A=60°，
（1）如图①，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC= ； （2）如图②，∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则
?BO2C?_________；
（3）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，On?1（内部有
n?1个点），则?BOn?1C? ；
（4）如图③，∠ABC和∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，……，On?1，若
?BOn?1C?90?，求n的值．
【答案】（1）120°；（2）100°；（3）?【解析】 【分析】
?60n?120???；（4）n=4 n??（1）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据角平分线的定义即可求出∠OBC＋∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（2）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据三等分线的定义即可求出∠O2BC＋∠O2CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论；
（3）根据三角形的内角和定理即可求出∠ABC＋∠ABC，然后根据n等分线的定义即可求出∠On－1BC＋∠O n－1CB，再根据三角形的内角和定理即可求出结论； （4）根据（3）的结论列出方程即可求出结论． 【详解】
解：（1）∵在ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120° ∵∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O， ∴∠OBC=
11∠ABC，∠OCB=∠ACB 2211∠ABC＋∠ACB 22∴∠OBC＋∠OCB==
1（∠ABC＋∠ACB） 2=60°
∴∠BOC=180°－（∠OBC＋∠OCB）=120° 故答案为：120°．
（2）∵在ABC中，∠A=60°， ∴∠ABC＋∠ABC=180°－∠A=120°
∵∠ABC和∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2， ∴∠O2BC=
22∠ABC，∠O2CB=∠ACB 33∴∠O2BC＋∠O2CB=
22∠ABC＋∠ACB 33
西安电子科技大学附中太白校区数学三角形解答题章末练习卷(Word版 含解析)
