西安电子科技大学附中太白校区数学三角形解答题章末练习卷（Word版 含解
析）
一、八年级数学三角形解答题压轴题（难）
1．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“灵动三角形”．如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“灵动三角形”． 如图，∠MON＝60°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°< ∠OAC < 90°）．
（1）∠ABO的度数为 °，△AOB （填“是”或“不是”灵动三角形）； （2）若∠BAC＝60°，求证：△AOC为“灵动三角形”； （3）当△ABC为“灵动三角形”时，求∠OAC的度数．
【答案】（1）30°；（2）详见解析；（3）∠OAC=80°或52.5°或30°. 【解析】 【分析】
（1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠ABO的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
（2）根据“智慧三角形”的概念证明即可；
（3）分点C在线段OB和线段OB的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【详解】
（1）答案为：30°；是； （2）∵AB⊥OM ∴∠BAO＝90° ∵∠BAC＝60°
∴∠OAC＝∠BAO-∠BAC=30° ∵∠MON＝60°
∴∠ACO＝180°-∠OAC-∠MON＝90° ∴∠ACO＝3∠OAC， ∴△AOC为“灵动三角形”；
（3）设∠OAC= x°则∠BAC=90-x, ∠ACB=60+x , ∠ABC＝30° ∵△ABC为“智慧三角形”， Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，°， ∴30＝3（90-x）， ∴x=80 Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时， ∴30=3（60+x） ∴x= -50 （舍去）
∴此种情况不存在， Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时， ∴60+x＝3（90-x）， ∴x＝52.5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时， ∴60+x＝90°， ∴x＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时， ∴90-x＝90°， ∴x＝0°（舍去）
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时， ∴90-x＝3（60+x）， ∴x= -22.5（舍去）， ∴此种情况不存在，
∴综上所述：∠OAC=80°或52.5°或30°。 【点睛】
考查的是三角形内角和定理、“智慧三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
2．如图, A为x轴负半轴上一点, B为x轴正半轴上一点, C(0,－2),D(－3,－2). (1)求△BCD的面积；
(2)若AC⊥BC,作∠CBA的平分线交CO于P,交CA于Q,判断∠CPQ与∠CQP的大小关系, 并证明你的结论.
【答案】（1）3；（2）∠CPQ＝∠CQP，理由见解析； 【解析】 【分析】
（1）求出CD的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ABQ=∠CBQ，然后根据等角的余角相等解答；
【详解】
解：（1）∵点C（0，-2），D（-3，-2）， ∴CD=3，且CD//x轴
1×3×2=3； 2（2）∠CPQ＝∠CQP， ∵AC⊥BC，
∴△BCD面积=
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90° ∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA， ∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO， ∴∠CQP＝∠CPQ （2）∠CPQ＝∠CQP， ∵AC⊥BC，
∴∠ACO＋∠BCO＝90°，又∠ACO＋∠OAC＝90° ∴∠OAC＝∠BCO，又BQ平分∠CBA， ∴∠ABQ＝∠CBQ，
∵∠CQP＝∠OAC＋∠ABQ ∠CPQ＝∠CBQ＋∠BCO， ∴∠CQP＝∠CPQ 【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，三角形的角平分线，三角形的面积，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，综合题，熟记性质并准确识图是解题的关键.
3．（1）在?ABC中，AD?BC，BE?AC，CF?AB，BC?16，AD?3，
BE?4，CF?6，则?ABC的周长为______.
（2）如图①，在?ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，BD，CD的中点，且
S?ABC?4cm2，则S?AEF等于______cm2.
① ②
（3）如②图，三角形ABC的面积为1，点E是AC的中点，点O是BE的中点，连接
AO并延长交BC于点D，连接CO并延长交AB于点F，则四边形BDOF的面积为______.
【答案】（1）36（2）2（3）【解析】 【分析】
1 6(1)利用三角形面积公式，求出AB、AC的长，再计算三角形的周长即可； (2)设?ABC在BC边上的高为h，则S?ABC?和差得出EF?1BC?h，根据线段中点的定义以及线段的21BC，继而再根据三角形面积公式进行求解即可； 2(3)设S?BOF?x，S?BOD?y，根据三角形中线将三角形分成两个面积相等的三角形可得
S?AOE?S?COE?S?AOB?S?COB?S?BCF?113，从而得S?AOF??x，S?ACF??x，4441131?x，S?COD??y，S?ACD??y，S?ABD??y，利用等高的两三角形面4444积之比等于底边之比分别列出关于x、y的方程，求出x、y的值即可求得答案. 【详解】
(1)S?ABC?111BC?AD?AC?BE?AB?CF， 222∴BC?AD?AC?BE?AB?CF， 即16?3?AC?4?AB?6， ∴AC?12，AB?8， ∴△ABC的周长=AB+BC+AC=36； (2)设?ABC在BC边上的高为h， 则S?ABC?1BC?h， 21BD， 2∵E为BD中点，∴ED?∵F为DC中点，∴DF?∴EF?1DC， 2111BD?DC?BC， 2221111EF?h??BC?h?S?ABC?2cm2； 2222∴S?AEF?(3)设S?BOF?x，S?BOD?y，
∵点E，O分别是AC，BE的中点，S?ABC?1， ∴S?AOE?S?COE?S?AOB?S?COB?∴S?AOF?1， 4131?x，S?ACF??x，S?BCF??x， 444
13?x?x1344??x2?x?x2， ∴，即
1x164?x41解得x?，
12131又S?COD??y，S?ACD??y，S?ABD??y，
4441?yy14?∴，得y?， 1312?y?y44111??. 故S四边形BDOF?x?y?12126【点睛】
本题考查了三角形面积的应用，三角形的周长，解题关键在于找出等高的两三角形面积与底边的对应关系．
4．如图1：ABC中，AD是高，AE是?BAC的平分线，
?ABC=40?，?ACB=70?． （1）求?EAD的度数
（2）当?ABC=?，?ACB=?，请用?，?表示?EAD，并写出推导过程
（3）当AE是?BAC的外角?FAC的平分线，如图2则此时?EAD的度数是多少，用?,?表示，直接写出结果．
【答案】（1）15o;(2) ?EAD?【解析】 【分析】
?-?2;(3) ?EAD?90?????2
（1）先根据三角形的内角和定理求得∠BAC=180°-∠B-∠C=70°，利用角平分线的定义得∠EAC=
1∠BAC=35°，而∠DAC=90°-∠C=20°，通过∠EAD=∠EAC-∠DAC即可得到结果． 21（β-α），重复（1）的过程找出∠BAD和∠BAE的度数，二者做差即2（2）猜想∠DAE=可得出结论；
（3）作∠BAC的内角平分线AE′，根据角平分线的性质求出
西安电子科技大学附中太白校区数学三角形解答题章末练习卷(Word版 含解析)
