六安一中高三年级数学自测试卷（一）
时间：120分钟 分值：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每一小题给出的四个选项中只有一项是符??????6、函数f?x??sin2?x???sin2?x??是( ).
4?4???A．周期为?的偶函数 B．周期为?的奇函数 C．周期为2?的偶函数 D．周期为2?奇函数
合题目要求的．
1、若向量ra?(4,2)，rb?(6,k)，若ra//rb，则k?( )
A．?12 B．12 C．?3 D．3
2、已知??(0,?2)，2sin2??cos2??1，则sin??( )
A．15
B．5 3
255 C．3 D．5 3、已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为（A．
π ππ6 B．
3 C．
23 D．
5π6 4、在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则uEBuur?
A．3uABuur?1uACuur B．1u4ABuur?3uuur44
4AC
C．3uABuur?1uACuur D．1uuur3uuur44
4AB?4AC
5、已知uABuur?(2,3)u，AC?(3,t)，BCuur?1，则uABuur?uBCuur=
A．?3 B．?2 C．2
D．3
7、当x????0,??2??时，函数f(x)?sin2x?23sin????4?x???sin????4?x???的值域是（ ）
A．[?3,3]
B．[?1,3]
C．[?3,2]
D．??1,2?
8、若x1=
?4，x2=??4是函数f(x)=sin?x(?>0)两个相邻的极值点，则?= A．2
B．
3 12 C．1 D．
2 9、已知在△ABC中，AB=23，sinA?223,tanC?55，则BC= A. 83 B. 8 C. 43 D. 4
10、在???C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若sinB?2sinAcosC?0，则当cosB取最小值时，
ca=（ ） A．2 B．3 C．2
D．33 11、平面直角坐标系中，已知两点A?3,1?，B??1,3?，若点C满足uOCuur??uuuruuur1OA??2OB (O为原
点)，其中?1,?2?R，且?1??2?1，则点C的轨迹是（ ）
）1
A．直线 B．椭圆 C．圆
D．双曲线
12、已知函数f(x)?2sin?xcos?xcos??(2cos2?x?1)sin?,??0，??（0，?2），若
f(??3?x)?f(x)，f(2?)?f(?)?0，则?=
A. 5?12 B. ???3 C. 4 D. 6
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卷相应位置上． 13、已知tan???3,tan(???)?144，则tan??___________。 14、在古代三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出一个小正方形（如图阴影部分）。若直角三角形中较小的锐角为a。现向大正方形区城内随机投掷一枚飞镖，要使飞镖落在小正方形内的概率为
14，则cos??_____________。 备选
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.
在?ABC中，已知a,b,c分别为A,B,C，?B，?C所对的边，S为?ABC的面积．若向量
rp?(4，a2?b2?c2)， uuqr?(1，S)满足rp//qr，则C=
15、已知函数f?x??sin2x?3cos2x，给出下列四个结论：①函数f?x?的最小正周期是?；②函数f?x?在区间?????6,??3??上是减函数；③函数f?x?的图像关于点????3,0???对称；④函数f?x?的图像可由函数y?2sin2x的图像向左平移?3个单位得到；其中正确结论是_________________.
16、在平行四边形ABCD中，uABuur?uBDuur?0，沿BD将四边形折起成直二面角A?BD?C，且
|2uABuur?uBDuur|?2，则三棱锥A?BCD的外接球的表面积为________________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，以Ox为始边作角?与?（0??????），它们的终边与单位圆分别相交于点P,Q，已知点P???4?5,3?5??. （1）求
1?2sin2?1?cos2??sin?的值；
（2）若uOPuur?uOQuur??13，求sin?的值.
18．（本小题满分12分）
在四边形ABCD中，?BAD?120?，
?BCD?60?，cosD??17，AD?DC?2.
(1) 求cos?DAC及AC的长； (2) 求BC的长.
2
19．（本小题满分12分）
已知函数f?x??sinxcosx?3cos2x.
（Ⅰ）求f??π??3??的值；
（Ⅱ）求f?x?在区间??π??0,2??上的最大值.
20．（本小题满分12分）
已知mr??2cosx?23sinx,1?,nr??cosx,?y?，且mr?nr.将y表示为x的函数，若记此函数为
f?x?，
（1）求f?x?的单调递增区间； （2）将f?x?的图象向右平移
?6个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g?x?的图象，求函数g?x?在x??0,??上的最大值与最小值.
21．（本小题满分12分）
己知向量 ar???sinx3,cosx?r?x3??， b??cos,3cosx?rr??33??函数f(x) ?a?b
(1)求函数f(x)的对称中心；
(2)如果?ABC的三边a,b,c满足b2?ac，且边b所对的角为B，试求B的范围及此时函数f?x?
的值域．
22．（本小题满分12分）
在?ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知mur?(cosB,cosC)，nr?(2a?c,b)，且mur?nr.
（1）求角B的大小；
（2）若b?13，a?c?4，求?ABC的面积.
1—6 D B B A C B 7—12 C A B B A D 12、
13、
1613 14、
7?14 解析：设正方形边长为1，则直角三角形的两条直角边分别为sin?和cos?，则每个直角三角形的面积为
12sin?cos??14sin2?，由题意知，阴影部分正方形的面积为14， 所以，四个直角三角形的面积和为4?1sin2??1?144，即sin2??34， 3
由于?是较小的锐角，则0????4，?0?2???2，所以，cos2??1?sin22??74， 7因此，
cos??1?cos2?1?48?277，故答案为：7?1. 2?2?16??14415、①③ 16、4? 解析：由uABuur?uBDuur?0得AB?BD，又平面ABD?平面BCD，∴AB?平
面BDC，∴AB?BC，同理CD?AD，取AC中点O，则O到四顶点的距离相等，即为三棱锥A?BCD的外接球的球心．
AC2?CD2?AD2?CD2?BD2?AB2?2AB2?BD2，
∵|2uABuur?uBDuur|?2，∴|2uABuur?uBDuur|2?2uABuur2?22uABuur?uBDuur?uBDuur2?2AB2?BD2?4，
∴AC2?4，AC?2，∴S?4??(2)22?4?
17、（1）由三角函数的定义得cos???45,sin??35, ∴原式?1?sin2?2cos2??2sin?cos??(cos??sin?)22cos?(cos??sin?) ?cos??sin?2cos??1?tan?2?12?38?18.
故所求值为
18. （2）∴uOPuur?uOQuur??1uuuruuur3,OP??cos?,sin??,OQ??cos?,sin??,
故cos?cos??sin?sin???13,
∴cos(???)??13,∴0???a??,∴0??????,
∴sin(???)?1?cos2(???)?1?1229?3, ∴sin??sin[(??(???)]?sin?cos(???)?cos?sin(???)
?3?1??4?2282?5????3??????5???3?315. 18、（1）?ACD中，由余弦定理可得：AC2?22?2?2?22????1?64?7???7， 解得AC?8711877，AC??cos?DAC?2?27?27； AD27（2）设?DAC????DCA，
由（1）可得：cos??277sin??217， ?sin?BAC?sin?120?????3?27?1?21?321272714，
sinB?sin(?BAC??BCA)?sin?180??2??
?sin2??2?2721437?7?7 4
在VBAC中，由正弦定理可得：
BCsin?BAC?ACsinB，
87?321?BC?71443?3. 719、解：（Ⅰ）f(ππ?cosπ?3cos2π3)?sin333 ?1?2?3?1322?3???2?? ?2. （Ⅱ）f?x??sinx?cosx?3cos2x
?1cos2x2sin2x?3??12?sin???2x?π?33???2. 因为x???π?π?π4π??0,2??，所以2x?3???3,3??.
当2x?π3?π2，即x?π12时，f?x?取得最大值1?32. 20、（1）由mr?nr得mr?nr?2cos2x?23sinxcosx?y?0，
所以y?2cos2x?23sinxcosx?1?cos2x?3sin2x?2sin???2x???6???1.
由??2?2k??2x???6?2?2k?,k?Z得???3?k??x?6?k?,k?Z，
即函数y?2sin??????2x?6???1的单调递增区间为????3?k?,?6?k????,k?Z （2）由题意知g?x??2sin?????x?6???1 因为x??0,??,?x????56????6,??6??， 故当x???6?2时， g?x?有最大值为3； 当x??6???6时， g?x?有最小值为0.
故函数g?x?在x??0,??上的最大值为3，最小值为0. 21、（1）f(x) ?ar?br?sinxxxx3cos3?3cos3cos3
?12x3?22sin3?2??1?cosx?3?? ?12x32x3?2x??32sin3?2cos3?2?sin??3?3???2 令
2x3??3?k?，解得x???3?332?2k?，所以对称中心是(?2?2k?,2) (2)Qb2?ac,cosx?a2?c2?b2a2?c2?ac2ac?ac12ac?2ac?2ac?2
?1??2x?5?2?cosx?1,0?x?3,?3?3?3?9， ?sin?3?sin??2x?3???3???1， 5
安徽省六安市第一中学2020届高三下学期自测卷(一)线下考试数学(文)试题
