电动力学习题解答

由天下分享时间：2025/1/23 14:07:26 加入收藏我要投稿点赞

第二章静电场

1. 一个半径为R的电介质球，极化强度为P?Kr/r，电容率为?。

（1）计算束缚电荷的体密度和面密度：（2）计算自由电荷体密度；（3）计算球外和球内的电势；

（4）求该带电介质球产生的静电场总能量。

2222解：（1）?p????P??K??(r/r)??K[(1/r)??r?r??(1/r)]??K/r

2?p??n?(P2?P1)?er?Pr?R?K/R （2）D内??0E?P?P?/(???0)

?f???D内????P/(???0)??K/(???0)r2

（3）E内?D内/??P/(???0)

E外?D外?0?r???fdV4??0r2er??KRer

?0(???0)r2?外??E外?dr?Rr?KR

?0(???0)r?R?内??E内?dr??E外?dr?KR?(ln?)

???0r?02R4?rdr11?K21?2K2R2?4?r2dr（4）W??D?EdV? ?22(???0)2?0r22?0(???0)2?Rr4?K2?2??R(1?)()

?0???02. 在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势：

（1）导体球上接有电池，使球与地保持电势差?0；（2）导体球上带总电荷Q 解：（1）该问题具有轴对称性，对称轴为通过球心沿外电场E0方向的轴线，取该轴线

为极轴，球心为原点建立球坐标系。

当R?R0时，电势?满足拉普拉斯方程，通解为

bn)Pn(cos?) n?1Rn因为无穷远处 E?E0，???0?E0Rcos???0?E0RP1(cos?) 所以 a0??0，a1??E0，an?0,(n?2)

???(anRn?当 R?R0时，???0

所以 ?0?E0R0P1(cos?)?即： ?0?b0/R0??0,Word文档

bnP(cos?)??0 ?n?1nRn0b1/R02?E0R0

所以 b0?R0(?0??0),3b1?E0R0,bn?0,(n?2)

3??0?E0Rcos??R0(?0??0)/R?E0R0cos?/R2???(R?R0)??0（2）设球体待定电势为?0，同理可得

3??0?E0Rcos??R0(?0??0)/R?E0R0cos?/R2???(R?R0)??0当 R?R0时，由题意，金属球带电量Q

(R?R0)(R?R0)

Q????0???nR?R0dS??0?(E0cos???0??02?2E0cos?)R0sin?d?d? R0?4??0R0(?0??0)

所以 (?0??0)?Q/4??0R0

3??0?E0Rcos??Q/4??0R?(E0R0/R2)cos?(R?R0)???

(R?R0)??0?Q/4??0R3. 均匀介质球的中心置一点电荷Qf，球的电容率为?，球外为真空，试用分离变量法求

空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。

提示：空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4??R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：（一）分离变量法

空间各点的电势是点电荷Qf的电势Qf/4??R与球面上的极化电荷所产生的电势的迭加。设极化电荷产生的电势为??，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形

式为：

bn）P（ ncos?）n?1Rnd????外（cnRn?nn?1）P（ ncos?）Rn??0，?cn?0。当R??时，?外?为有限，?bn?0。当R?0时，?内????内（anRn???所以 ?内??? ， ?外?anRnP（ncos?）nndnP（cos?） n?1nR由于球对称性，电势只与R有关，所以

an?0,(n?1) dn?0,(n?1) ??a0， ?外??d0/R ?内所以空间各点电势可写成?内?a0?Qf4??R

?外?d0R?Qf4??R

当R?R0时，由 ?内??外得： a0?d0/R0

Word文档

由 ???内?n??0??外?0Qf?0d0Qf11得：??2，d0?(?) 22?n4??0?4?R04??R0R0Qf11?)

4?R0?0?QfQf11所以 ?内? ?（?）4??R4?R0?0?QfQfQf11 ?外??（?）?4??R4?R?0?4??0R （二）应用高斯定理

在球外，R>R0 ，由高斯定理得：?0E外?ds?Q总?Qf?Qp?Qf，（整个导体球的束缚电荷Qp?0），所以 E外?则 a0?Qf(?er ，积分后得：

4??0R2??QfQf ?外??E外?dR??dR?24??0RRR4??0RQf 在球内，R

E内??Qf4??RR0R2er ，积分后得：

??内??E内?dR??E外?dR?R0Qf4??R?Qf4??R0?Qf4??0R 结果相同。

4. 均匀介质球（电容率为?1）的中心置一自由电偶极子pf，球外充满了另一种介质（电

容率为?2），求空间各点的电势和极化电荷分布。