设OE=x，则DE=8-x，
在Rt△BDE中，BD=4，根据勾股定理得，DB2+DE2=BE2， ∴16+（8-x）2=x2， ∴x=5， ∴BE=5， ∴CE=3，
∴DE=3，BE=5，BD=4， ∵S△BDE=
11DE×BD=BE×DG， 22∴DG=
DE?BD12=， BE51232+4=．
5532． 5由题意有，GN=OC=4， ∴DN=DG+GN=
即：AM+MN的最小值为
点睛：此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，极值的确定，进行分类讨论与方程思想是解本题的关键． 【举一反三】
（2020·云南初三）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点 B（﹣1，0），C（2，3），抛物线与y轴的焦点A，与x轴的另一个焦点为D，点M为线段AD上的一动点，设点M的横坐标为t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点M作y轴的平行线，交抛物线于点P，设线段PM的长为1，当t为何值时，1的长最大，并求最大值；（先根据题目画图，再计算）
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，△PAD的面积最大？并求最大值；
（4）在（2）的条件下，是否存在点P，使△PAD为直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由．
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【答案】(1)y=﹣x2+2x+3；（2）当t=
933时，l有最大值，l最大=；（3）t=时，△PAD的
422面积的最大值为【解析】
271?5. ；（4）t=82试题分析：（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）易知直线AD解析式为y=-x+3，设M点横坐标为m，则P（t，-t2+2t+3），M（t，-t+3），
329）+，利用二次函数的性质即可解决问题；
4213PM×（3）由S△PAD=×（xD-xA）=PM，推出PM的值最大时，△PAD的面积最大； 221（4）如图设AD的中点为K，设P（t，-t2+2t+3）．由△PAD是直角三角形，推出PK=AD，
213318，解方程即可解决问题； 可得（t-）2+（-t2+2t+3-）2=×
224可得l=-t2+2t+3-（-t+3）=-t2+3t=-（t-试题解析：（1）把点 B（﹣1，0），C（2，3）代入y=ax2+bx+3，
?a?b?3?0则有?，
4a?2b?3?3?解得??a??1，
b?2?∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）在y=﹣x2+2x+3中，令y=0可得0=﹣x2+2x+3，解得x=﹣1或x=3， ∴D（3，0），且A（0，3）， ∴直线AD解析式为y=﹣x+3，
17
设M点横坐标为m，则P（t，﹣t2+2t+3），M（t，﹣t+3）， ∵0＜t＜3，
∴点M在第一象限内，
∴l=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t=﹣（t﹣∴当t=
329）+，
4293时，l有最大值，l最大=；
4213PM×（3）∵S△PAD=×（xD﹣xA）=PM， 22∴PM的值最大时，△PAD的面积中点，最大值=
3927×=． 248∴t=
273时，△PAD的面积的最大值为． 28（4）如图设AD的中点为K，设P（t，﹣t2+2t+3）．
∵△PAD是直角三角形，
1AD， 2133∴（t﹣）2+（﹣t2+2t+3﹣）2=×18，
224∴PK=
整理得t（t﹣3）（t2﹣t﹣1）=0， 解得t=0或3或1?5， 218
∵点P在第一象限， ∴t=1+5. 2类型二 【确定三角形、四边形的周长的最值或符合条件的点的坐标】
【典例指引2】
（2020·重庆初三期末）如图，抛物线y?ax2?bx（a?0）与双曲线y?
k
相交于点A、x
B，已知点A坐标?1,4?，点B在第三象限内，且?AOB的面积为3（O为坐标原点）.
（1）求实数a、b、k的值；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点P使得?POB为等腰三角形？若存在请求出所有的
P点的坐标，若不存在请说明理由.
（3）在坐标系内有一个点M，恰使得MA?MB?MO，现要求在y轴上找出点Q使得
?BQM的周长最小，请求出M的坐标和?BQM周长的最小值.
???a?123?23?【答案】（1）?，k?4；（2）存在，P1???1.5,?2??，P2???1.5,2??，b?3???????31?31?1P3??1.5,?2?P?1.5,?2?P?1.5,?0.53，，；（）?????45??2?2?2????【解析】 【分析】
（1）由点A在双曲线上，可得k的值，进而得出双曲线的解析式．设B?m,?346?170
???4??(m?0)，m?过A作AP⊥x轴于P，BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M．根据
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S?AOB?S?AMB?S?AOP?S?QOB?S矩形OPMQ=3解方程即可得出k的值，从而得出点B的坐标，
把A、B的坐标代入抛物线的解析式即可得到结论；
（2）抛物线对称轴为x??1.5，设P??1.5,y?，则可得出PO2；OB2；PB2．然后分三种情况讨论即可；
（3）设M(x，y)．由MO=MA=MB，可求出M的坐标．作B关于y轴的对称点B'．连接B'M交y轴于Q．此时△BQM的周长最小．用两点间的距离公式计算即可． 【详解】
4=4， （1）由A?1,4?知：k=xy=1×∴y?
4
． x
4??(m?0)． m?设B?m,??BQ⊥y轴于Q，直线BQ和直线AP相交于点M， 过A作AP⊥x轴于P，则S△AOP=S△BOQ=2．
S?AOB?S?AMB?S?AOP?S?QOB?S矩形OPMQ
?14?4??4??S?S?1?0??1?m?????AOP?QOB????
2mm????2???4???2?2m??2??4????
m???m??2?2m m2?2m?3， m令：
整理得：2m2?3m?2?0， 解得：m1?∵m＜0， ∴m=-2， 故B??2,?2?．
1，m2??2． 220
中考数学压轴题专题4《几何最值的存在性问题》
