归纳求三角函数最值类型与求解方法 三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题.这部分内容是一个难点，不易让学生掌握，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高.求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一，以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题． 题型一、一角一次一函数形式 在学习了三角函数的内容以后可以知道，要求关于三角函数最值只能转化到y?Asin(?x??)?B或者y?Acos(?x??)?B,y?Atan(?x??)?B这种形式才可以求其最值，我把这种形式称为“一角一次一函数形式”. 例1：求y?sinx?3cosx的最值. 解：y?sinx?3cosx?2(sinx?123cosx) 2?2(sinx?cos?当x???cosxsin)?2sin(x?) 333?2k?即x????2k?,k?Z 时，ymax?2 6??5??2k?,k?Z时，ymax??2 当x????2k?即x??3263?2变式1：再加上x??0,???????是，结果如何？ 2?? 在化到y?2sin(x?????2?????)时，?x??0,?,?x???,? 6?63?3?2??sin(x???1?)??,1?，y??1,2?. 3?2?变式2: 求函数y?sinx?cosx????，x???,?的最值. sinx?cosx?1212?解：y??????tanx?1??????tan(x?)，?x???,?,?x???,? 4?63?tanx?14?1212??当x???12时，ymin?3?；当x?时，ymax?3. 312变式3：f(x)?1?23?32????????sinx?cos2x???x?,?，sinx?，求f(x)的?????4?2?24??43??最大值与最小值. 解：（先观察角之间的关系，最好能转化为同角，然后看同角是三角函数的次数，在化为同一个函数名） ???1?cos(2x?)?1?3?3?2? ???f(x)???cos2x???4?2?2?2??????31?331?sin(2x?) ?sin2x?cos2x?826844??2?5???????x??,?,?2x???,?. 6?36??43??当x??4时，f(x)min??33?2?. 当x?时，f(x)max?. 883在这个解题过程中，运用到了转化思想，化归到我们已经学习过的三角函数中去，通过一些倍角公式，与同角合并公式asinx?bcosx?a2?b2sin(x??), (tan??b)的转a化，把它转化到“一角一次一函数形式”，此时对于同一个角度是同次的.所以说把y?asinx?bcosx化成y?Asin(?x??)的形式是解决问题普遍方法 题型二：一角二次一函数形式 当三角函数转化为“一角一次一函数形式”有困难的时候，该如何呢？ 例2 求函数y??cosx?sinx?cos2x?27的最值. 4分析：先观察这个解析式可知，对于同一个角而言，不是同次时转化不到“一角一次一函数形式”时，肯定对同角而言是一次与二次的，所以有可能化归到二次函数去. 解：y??cosx?1?cosx?2cosx?1??2??2?77??cos2x?cosx? 441?????cosx???2 2??1?ymax?2,ymin?? 4变式1：求y??sinx?2??cosx?2?的最值. 解：y?sinxcosx?2(sinx?cosx)?4?21?sin2x?22sin(x?)?4 241??????cos?2x???22sin(x?)?4 22?4?1???????1?2sin2(x?)??22sin(x?)?4 2?4?4??7?3?sin2(x?)?22sin(x?)??[sin(x?)?2]2? 42442??9当sin(x?)??1即x???2k?,k?Z时，ymin??22， 442?3?9当sin(x?)?1即x??2k?,k?Z时，ymin??22. 442此题这样做在思考上有一定的困难，但是我们可以思考到sinx?cosx与sinxcosx是有关联的，?sinx?cosx??1?sinxcosx，由此可设t?sinx?cosx 2?17132?2sin(x?)??2,2，y?t2?2t???t?2??，由此化归到了一元二次42222函数，比上面的思维应该简单一点.所以以后见到sinx?cosx与sinxcosx同时出现时，借助它们之间的联系用换元法.利用一些三角公式进行变量替换，是求三角最值的一种常用技巧. 对同一个角，有一次，两次出现，一般都可以转化到“一角二次一函数形式”. 题型三、利用有界性（?1?sin??1，?1?cos??1） 三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决，就有下面的例题来展示： 例3 求函数y???3sinx的值域. sinx?2分析：不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式，但与我们以前所学的求y?解：y?x?1的最值，联系比较密切，借助分离变量或者说是反表示解决这一题目. x?13sinx2y2y?sinx??1. ， 因为 ?1?sinx?1,所以?1?sinx?2y?3y?3?33?由此可得?3?y?，?函数的值域为??3,?. 33??解二：y?3sinx?23?2323?3?， sinx?2sinx?2??1?sinx?1 ?1?sinx?2?3 ??23??232??3 sinx?23?3??3,?y??? （用变量分离的方法更简便） 3??变式1：求函数y?3cosx的值域. sinx?2解：由题意得ysinx?3cosx??2y，所以y2?3sin(x??)??2y(其中?为 辅助角)，?sin(x??)??2yy?32， ??1?sin?x????1 ??1??2yy?32?1?y?1 所以函数的值域为??1,1?. ?1 解得：解二：（此题还可以与几何图形相联系）由题意得ycosxcosx?0?? 3sinx?2sinx?(?2)设点P(sinx,cosx),Q(?2,0)，则cosx?0可以看成是单位圆上的动点P与点Q sinx?(?2)连线的斜率，有图象可得k1??33，k2? 33??3y3，??1?y?1 ??333这个代数问题通过解析几何解决了，体现了数形结合的数学思想. Y P1 Q P2 O X 这些过程中主要是让学生在学习的过程中，要会与以前所学知识的联系，把新的问题化归或转化到已经学过的知识中去.这就要求要把知识的传授和能力的培养相结合，注重数学思想方法的教学，而学生们一旦掌握了一种新的数学思想和方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力就有较大的提高，因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法”.在这个求三角函数最值基本的过程中，让学生深刻的了解其中的数学思想方法，掌握“通性通法”，也就掌握了学习数学的“万能”钥匙.数学思想方法是人人能懂，处处有用的，这就是新课程标准倡导的“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念.
归纳求三角函数最值类型与求解方法
