江西省吉安市永丰中学2024学年高二数学上学期期中试题 理
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(本大题共12题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．直线3x?3y?1?0的倾斜角是( ) A．1500
B．600
2?C．1200 D．1350
2．已知命题p:?x0?R,x0?x0?1?0,则p为（ ）
22A．?x?R，x?x?1?0 B．?x?R，x?x?1?0
C．
?x0?R，
2x0?x0?1?0 D．
?x0?R，
2x0?x0?1?0
3．下列说法中正确的是（ ）
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 B．“a?b”与“a?c?b?c”不等价
C．“a2?b2?0,则a,b全为0”的逆否命题是“若a,b全不为0, 则a2?b2?0” D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
4．如图,?O?A?B?是水平放置的?OAB的直观图，OA??3,OB??4,
则?OAB的周长为 ( ) A. 10?213 B．32 C．10 D．12
5．设m、n是两条不同的直线，?、?是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A．若m??，n??，且?//?，则m//n B．若m??，n??，且m//?，n//?，则?//?
C．若m?n，m??，且n??，则??? D．若m??，n??，且???，则m?n 6．点B是点A(1,2,3)在坐标平面yoz内的投影，则OB等于（ ） A．14
B．13
C．10 D．5 7．圆锥的母线长为4，侧面展开图为一个半圆，则该圆锥表面积为（ ） A．10? B．12? C．16? D．18? 8.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm)是( )
3
A．
??3?3??1 B．?3 C.?1 D．?3 2222229．由直线y?x?2上的点向圆(x?4)?(y?2)?1引切线，则切线长的最小值为（ ） A．30
B．31 C．42
D．33 10．如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： ①AF?GC；
②BD与GC成异面直线且夹角为60；
0
③BD//MN；
④BG与平面ABCD所成的角为45. 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2
0
C．3 D．4
11．已知三棱锥P?ABC的顶点都在球O的球面上，若PA?平面
ABC,AB?BC,PA?2，AB?BC?4,则球O的表面积为（ ）
A．12?
B．16?
C．24?
D．36?
12．如图，在棱长为1的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E,F分别是棱
B1B,B1C1的中点，点G是棱CC1的中点，则过线段AG且平行于平面A1EF的
截面的面积为（ ） A．1 B．
98 C． D． 2 8923二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知直线3ax?y?1?0与直线(a?)x?y?1?0垂直，则a的值为 .
?x?y?0?14．已知x,y满足条件?x?y?2，则z?x?2y的最大值为 .
?x?0?15．圆x?y?2x?2y?a?0截直线x?y?2?0所得弦的长度为4，则实数a? . 16．已知∠ACB=90，P为平面ABC外一点，PC=2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为3，那么点P到平面ABC的距离为_________．
o
22三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（本小题10分）
己知直线2x﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+1=0交于点P．
（1）求过点P且平行于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程；（结果写成直线方程的一般式） （2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l2的方程.（结果写成直线方程的一般式）
18．（本小题12分）
命题p：函数y?lg(?x?4ax?3a)(a?0)有意义,命题q：实数x满足(1)当a?1时,若p?q是真命题,求实数x的取值范围； (2)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围．
19．（本小题12分）
如图，在三棱锥P?ABC中，PA?AB，PA?BC，AB?BC，PA?AB?BC?2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点． （1）求证：平面BDE?平面PAC；
（2）当PA// 平面BDE时，求三棱锥P?BDE的体积．
20．（本小题12分）
如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE?EC1． （1）证明：BE?平面EB1C1；
（2）若AE?A1E，求二面角B?EC?C1的余弦值．
22x?3?0． x?2E
21．（本小题12分）
如图，平面PAD?平面ABCD，PA?PD，四边形ABCD为平行四边形，?ABC??4，
uuuruuurAB?AC?2,M为线段AD的中点，点N满足PN?2ND. （1）求证：直线PB// 平面MNC；
（2）若PA?
22.（本小题12分）
已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x?3y?0上． （1）求圆C的方程；
3，求直线BP与平面PCD所成角的正弦值．
（2）平面上有两点A(?2,0),B(2,0)，点P是圆C上的动点，求|AP|?|BP|的最小值； （3）若Q是x轴上的动点，QR,QS分别切圆C于R,S两点，试问：直线RS是否恒过定点？若是，求出定点坐标，若不是，说明理由．
永丰中学2024学年第一学期高二期中考试
22数学（理科）参考答案
一、选择题 1 C 2 A 3 D 4 A 5 D 6 B 7 B 8 A 9 B 10 B 11 D 12 B 二、填空题 13. 1或?1 14. 4 15. -4 16.2 3三、解答题
?2x?y?1?0?x?117、解：（1）联立?，解得?，∴P（1，1）．
x?2y?1?0y?1??设直线l1的方程为3x+4y+m=0，把P（1，1）代入可得：3+4+m=0，解得m=-7．
∴直线l1的方程为3x+4y﹣7=0．
（2）当直线l2经过原点时，可得方程为：y=x．
当直线l2不过原点时，可设方程为：y+x=a，把P（1，1）代入可得1+1=a，可得a=2． ∴直线l2的方程为x+y﹣2=0．
综上可得：直线l2的方程为x+y﹣2=0或x﹣y=0． 18、解：（1）a?1,P:?x?4x?3?0，1?x?3
q:2?x?3
若p?q为真,则p,q同时为真,
即2?x?3.
（2）P:?x?4ax?3a?0，(x?a)(x?3a)?0（a>0）,则a?x?3a，
若q是p的充分不必要条件,
222（2,3）即是（a>0）的真子集． （a，3a）所以1?a?2.
19、解：（1）证明：QPA?AB，PA?BC， ?PA?平面ABC
又QBD?平面ABC ?PA?BD
QAB?BC?2，D为线段AC的中点， ?BD?AC ?BD?平面PAC QBD?平面BDE
?平面BDE?平面PAC
（2）QPA//平面BDE，平面PACI平面BDE?ED
?ED//PA
又D为AC中点，?E为PC中点
11112?2?1? ?S?VP?BDE?VA?BDE?VE?ABD??VE???V??APABCP?ABC3343?ABC22420．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，
故B1C1?BE．又BE?EC1，且B1C1?EC1?C1，所以BE?平面EB1C1．
江西省吉安市永丰中学2024学年高二数学上学期期中试题 理
