2017年全国高中数学联赛模拟试题04
第一试
（时间：8:00-9:20 满分：120）
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1. 集合A={x,y}与B={1,log3(x+2)}恰有一个公共元为正数1+x，则
AUB= ．
2.若函数f?x??loga?ax2?x??在区间?1,2?上递增，则a的取值范围是___________.
2?
??3?3.已知0?????
?2，且tan??3tan?，则u????的最大值为________.
4.在单调递增数列?an?中，已知a1?2，a2?4，且a2n?1，a2n，a2n?1成等差数列，a2n，a2n?1，
a2n?2成等比数列，n?1,2,3,L.那么，a100?_________.
5. 已知点P(1,2,5)是空间直角坐标系O?xyz内一定点，过P作一平面与三坐标轴的正半轴分别交于A,B,C三点，则所有这样的四面体OABC的体积的最小值为 ． 6.在?ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c，a?5，b?4，又知cos(A?B)?31， 32则?ABC的面积为 ．
7. 已知过两抛物线C1:x?1?(y?1)2，C2:(y?1)2??4x?a?1的交点的各自的切线互相垂直， 则实数a的值为 ．
8.若整数a,b既不互质，又不存在整除关系，则称a,b是一个“联盟”数对；设A是集
M??1,2,L,2014?的n元子集，且A中任两数皆是“联盟”数对，则n的最大值
为 ．
二、解答题：本大题共3小题，共56分.
2an?39. （本小题满分16分）设数列{an}满足a1?1,an?1?,n?1．求证：
2an（1） 当n?2时，an严格单调递减．（2） 当n?1时，|an?1?3|?23r?2?3．
r2nn1?r2，这里
y2x210. （本小题满分20分）设椭圆2?2?1(a?b?0)与抛物线x2?2py(p?0)有一个共同
ab的焦点F，PQ为它们的一条公切线，P、Q为切点，证明： PF?QF．
11. （本小题满分20分）求证：（1）方程x3?x?1?0恰有一个实根?，并且?是无理数； （2）?不是任何整数系数二次方程ax2?bx?c?0(a,b,c?Z,a?0)的根．
2017年全国高中数学联赛模拟试题04
加试
（时间：9:40-12:10 满分：180）
一、（本小题满分40分）如图，在锐角?ABC 中，AB?AC,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，?ADE 的外接圆与?BCE 的外接圆交于点P （异于点E ），?ADE 的外接圆与?BCD 的外接圆交于点Q （异于点D ）。求证：AP?AQ .
二、（本小题满分40分）
p-1求所有素数p，使得p2?k2p+1
k=1
三、（本小题满分50分）
设n是一个正整数，a1,a2,L,an,b1,b2,L,bn,c2,c3,L,c2n是4n－1个正实数，使得
ci2?j?aibj,1?i,j?n．
令m?maxci，证明：(2?i?2nm?c2?c3?L?c2n2a?a?L?anb1?b2?L?bn)?(12)()．
2nnn
全国高中数学联赛模拟试题
