定比分点的向量公式及
应用
Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
定比分点的向量公式及应用
浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙
定比分点的向量公式：在平面上任取一点O，设OP1?a，OP2?b，若
P1P??PP2，则OP?1?a?b。 1??1??11a?b。 22特别地，当??1时，即P为线段P1P2的中点，则有OP?用定比分点的向量公式，可使有些问题的解决更简洁。下面举几例说明。 一、求定比?的值：
例1：已知A（2,1），B（3,?1）及直线l：y?4x?5，直线AB与l相交于P点，求P点分AB的比?。
解：设P(x,y)，则由AP??PB，得
(x,y)?1?1?3?1??(2,1)?(3,?1)?(,)， 1??1??1??1??又∵P点在直线l上，
1??4(1?3?)??5， 1??1??1∴??。
3∴
例2：如图所示，在?ABC中，D为边BC上的点，且BD?kDC，E为AD上的一点，且DE?lEA，延长BE交AC于F，求F分有向线段CA所成的比
?。
解：∵CF??FA，∴
AFEBDCBF?1?BC?BA， 1??1??1lBD?BA， 又DE?lEA，∴BE?1?l1?lkBC， 而BD?kDC?1?k∴BE?
klBC?BA，
(1?l)(1?k)1?l
∵B、E、F共线，∴设BE?tBF，而tBF?∴
t?tBC?BA 1??1??klt?tBC?BA?BC?BA
(1?l)(1?k)1?l1??1??k?t??l(1?k)?1??(1?l)(1?k)∴?，解得??。
k?tl????1??1?l二、求直线上点的坐标
例3：已知点A(?1,?1)，B(2,5)，点C为直线AB上一点，且
AC??5BC，求C点的坐标。
分析：先求出C点分AB的?的值，再利用定比分点的向量公式求出点C的坐标。
解：∵AC??5BC，∴??ACCB?5，
利用定比分点的坐标公式有
15153OC?OA?OB?(?1,?1)?(2,5)?(,4)。
666623∴C点的坐标为(,4)。
21例4：已知A(2,3)，B(?1,5)，且AC?AB，AD?3AB，求点C，D的坐
3标。
分析：由题设，运用定比分点的向量公式，可以求得点C，D的坐标。 解：设C(x1,y1)，D(x2,y2)， ∵AC?1AC1AB，∴?1??， 3CB2∴根据定比分点的向量公式有OC??11OA?OB， 1??11??2
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