安全检查问题
摘要
本文在合理假设的基础上，主要采用M/M/S排队论和线性规划理论，有效地解决了机场安检设备的合理配置优化问题 以及航班时刻表的制作的问题。
针对问题一，在合理的假设条件基础上，根据飞机乘客的到达规律成泊松分布、乘客的服务时间成负指数分布，建立M/M/S多服务台的排队模型。以排队论为基础，结合A、B机场的数据，得到ETD台数对队长的影响。由于随着ETD台数的增加，队长减小的速度越来越缓慢，利用lingo优化求解得到高峰期A、B机场的ETD台数分别为50和51台。
针对问题二，同样对假设条件进行详述，我们首先从航空公司的经济利益和乘客的等待时间考虑，将A、B航班高峰期分为16个时间段。然后以各个时段起飞的航班总乘客数与到达的平均乘客数的差的绝对值最小为目标函数，建立线性规划模型。在相应约束条件的基础上，根据lingo所得的最优解对A、B机场高峰期时段的航班表进行合理安排。
针对问题三，我们首先利用问题一的M/M/S排队模型和方法，求得A、B机场分别需要14台和15台EDS进行安检。在求解过程中我们发现，EDS台数不仅对队长有影响，同时影响乘客的等待时间。考虑到乘客的等待时间和其他各方面的综合因素，我们根据两机场EDS的最优台数配置，结合问题二，在原始航班表的基础上，每个时段的航班分别加上对应的总等待时间，对航班表进行了改动和优化。问题三同样需要在合理的假设上进行求解。
针对问题四，所谓性价比，就是“性能/价格”。根据前三题的模型和表1的数据，对于ETD和EDS两种安检设备的性能，我们主要考虑其检查速度、准确率、操作可靠性和使用年限；对于价格，主要考虑ETD和EDS的成本和对应操作员的工资。通过公式计算得到ETD的性价比为18.2431，EDS的性价比为202.7192.。EDS的性价比明显高于ETD，因此建议购买EDS进行安检。
最后，我们对模型进行了合理的评价和改进，并对其进行了推广，在机场安检配置和航班表优化实际问题中有较大的参考价值。
关键词：机场安检 排队论 线性规划 性价比
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一、 问题的重述
为保证航班安全, 在机场每位乘客在登机前必须对行李进行安全检查。目前,主要使用EDS( explosive detection systems)和ETD(explosive trace detection machine)这两种设备进行此类检查。使用EDS时,其检查速度是160～210件行李/小时,准确率为98.50%,装配花费为$1000000/台,设备的使用率为92%。使用ETD时,其检查速度是40～50件行李/小时,准确率为99.70%,装配花费为$45000/台,设备的使用率为98%。A机场八类航班的数量分别是10、4、3、3、19、5、1、1；B机场为8、6、7、5、9、10、2、1,各种航班乘客数分别为34、46、85、128、142、194、215、350。
问题一:以上是关于某国两个较大的机场A、B的数据,如果他们采用ETD进行行李安检,请建立一个模型并计算出这两个机场所需要的ETD台数。
问题二:执行安检措施必然会耗费一些时间,参考表二中的数据建立一个模型用来决策如何合理安排高峰时段的航班时刻表,此处同样需要对建立模型所需的假设进行详细说明,利用你的模型给出这两个机场高峰时段的航班时刻表。
问题三：如果A、B机场采用EDS进行安检，需要多少台EDS？航班时刻表需要改动吗？适当修改你的模型回答这两个问题。
问题四：根据你上面所建立的模型，请分析一下EDS和ETD这两种安检设备，哪个性价比更高？你认为应该购买EDS或者ETD进行安检吗？
二、问题分析
2.1问题一分析
问题一要求我们计算A、B机场所需的ETD的台数。ETD的数量取决于在一定时间内能否使一定数量的乘客通过安全检查顺利登机,目标要使ETD的数量最优。根据乘客的到达形成泊松流的条件：无后效性、平稳性和普通性[2]，发现单位时间内到达机场的人数是随机独立的,并服从泊松分布。因此采用M/M/S多服务台排队模型来优化该问题：在乘客数量一定的情况下, ETD的数量越少则队长越长 ,且要求ETD的数量满足机场的需求。 2.2问题二分析
问题二要求合理安排高峰时段的航班时刻表。我们的目标是使机场的支出最小化以及乘客的等待时间最小。考虑到机场的经济效益，我们将航班高峰期分成16个时间段, 每个时间段起飞的航班数不超过3,这样可以减小乘坐不同航班的乘客在检查顺序上出现的混乱。考虑用线性规划的方法，使各个时间段起飞的航班的总乘客与高峰期的各个时间段到达的平均乘客数的差的绝对值最小，进而得出机场的航班时间安排表。 2.3问题三分析
问题三要求我们计算A、B机场所需的EDS的台数及其航班安排表。ETD、EDS的差别在于检查的包裹数不一样。利用问题一的排队模型即可求解得出EDS所需的数量。考虑EDS的数量对乘客等待时间的影响，对问题二中机场航班的时间安排表进行优化。 2.4问题四分析
问题四是分析EDS和ETD的性价比，根据性价比选择机场应该购买的安检设备的类型。性价比是产品性能与价格的比值，根据题目给出的数据及查阅相关资料计算出安检设备的性能和所需要支出的费用，再分别求得EDS和ETD的性价比，最后比较两者性价比的大小，选择应该购买的设备类型。
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三、模型假设
1. 假设任何时间段乘客的人数不超过飞机座位总数； 2. 假设两架飞机不能同时起飞，最短间隔为3分钟； 3. 假设飞机的客座率在80%左右[1]； 4. 乘客与安检设备数量取整；
5. 假设乘客登机时间全花在安全检查上，其他时间均不考虑，对所有乘客的安全检查完毕即认为所有乘客均已登机，飞机即可起飞。
四、符号说明
SCv
安检设备的数量 平均每人携带的包裹数 检查包裹的速度（个/时） 系统中的乘客数的期望值 系统中排队等待服务的乘客数的期望值
一个乘客在系统中的停留时间 一个乘客在系统中排队等待的时间
系统内0个乘客的概率 系统内n个乘客的概率
LsLq Ws
Wq PoPn
五、模型建立与求解
5.1问题一模型建立与求解 5.1.1问题一假设
在模型假设的基础上，问题一还需要如下假设：
（1）根据题意,以假设2为基础,得到飞机起飞的高峰期时段长为3?(46?1)?135min。 （2）乘客要么带1个包裹,要么带2个包裹, 假设这两种可能各占50%,则一个乘客平均包裹数为1?50%?2?50%?1.5个，并且每个包裹必须经过检验； （3）所有乘客都比飞机真正起飞时间提前45min～2h到达机场； （4）每台ETD每小时检查（40+50）/2=45个包裹。
[2]
5.1.2M/M/S多服务台排队模型建立
乘客的到来服从泊松分布，平均到达率为?，各服务台的服务时间负指数分布，而各服务台的工作时相互独立的，单个服务台的平均服务率为?，则整个服务机构的平
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均服务率为S?（当n?S），或n?(当n?S)。令?S??为系统的服务强度（服务机构S?的平均利用率），当?S?1时，系统出现排队现象，即有顾客在排队等待。
1.系统状态概率的平衡方程为：
??P1??P0??(n?1)?Pn?1??Pn?1?(??n?)Pn(1?n?S), ?S?P??P?(??c?)P(n?S)n?1n?1n?其中?Pn?1，且?S?n?0???1. S?2.系统状态概率：
P0?[?1?k11?()?()S]?1，
S!1??S?k?0k!?S?1?1?n?n!(?)P0,当n?S?Pn??.
11??()nP0,当n?Sn?S???S!S3.系统运行指标：
（1）队长（平均乘客数）：
Ls?Lq???
（2）队列长（等待的平均乘客数）：
Lq?n?S?1?(n?S)P??kPnk?1??k?S?S(S?S)Skk?S??(c?S)P0?Pk20S!(1??S)k?1S!S
?（3）系统中乘客的逗留时间：
(S?S)S?S1ws??P?0?S!(1??S)2??
Ls（4）系统中乘客的等待时间：
(S?S)S?Swq??P0?S!(1??S)2?
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Lq5.1.3模型求解
（一）关于A机场的M/M/S多服务台排队模型求解
在高峰时间乘客到达的密度是最高点，如果ETD的台数能在高峰时期保持工作,那么在其他时间也能保持工作。
根据假设（3）知乘客在飞机起飞前45min~2h登机，又A机场的航班数量为46，且每两航班起飞时间间隔为3min，则所有乘客必须在120?(46?1)?3?45?210min内到达机场，见“图1：A机场离港时间分布”
图1：A机场离港时间分布
由假设（3）可设高峰期将有总人数mA的乘客离港，则单位时间内到达A机场的乘客的平均数?A?mA。 210根据所给的数据可知：ETD每小时检查的包裹数为40～50个，因此ETD检查包裹的速度vA?40?50vA45?45（个/时），则平均服务率?A???0.5。 260?C60?1.5根据假设（2），按每个乘客携带1.5个包裹计算，并结合机场高峰时段需要起飞
的航班的座位数数据，可得A机场检查的总包裹数
NA?(34?10?46?4?85?3?128?3?142?19?194?5?215?1?350?1)?1.5?80%?6476. 又根据检查的总包裹数以及每位乘客携带1.5个包裹可得，A机场的乘客总数
N6476m6476mA?A??4318人，则平均到达率?A?A??20.56。
C1.5210210对于M/M/S系统的服务强度?S??:S?
?当?S?1时，队长LS趋于无穷大，这种情况要尽量避免； ?当?S?1且越接近1时，S?
??S[，为整数；则ETD数量上取整数]为最优解。 ??带入?A、?A的值，结合M/M/S多服务台模型，可以求得A机场的ETD数量SA最少
需要42台。
在包裹检查的时候，各服务台的队长应保持尽量短，这样既能节约乘客的等待时间又能维持机场的秩序。结合M/M/S排队模型，利用lingo编程（见附录1.1）分析：在A机场至少拥有10台ETD的基础上，每增加一台ETD与队长LS之间的变化情况，得
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