第二章 勾股定理
类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90°
(1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.
举一反三
【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?
类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.
举一反三【变式1】如图，已知：
于P. 求证：
.
，，
【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。
类型三：勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 （1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
（二）用勾股定理求最短问题
4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线．
举一反三
【变式1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，Ｂ
Ｃ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
【变式2】如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1． (1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所 行走的最短路线的长是______．
(2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．
点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为长2?宽2?高2．
【变式3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5， 如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它 需要爬行的最短距离是 ( ) A．5 B．25 C．15 D．35
【变式4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体
内能容下的最长木棒的长度为______．
【变式5】如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和103cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm．
类型四：利用勾股定理作长为 5、作长为
、
、
的线段
的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于为
，直角边
，类
和1的直角三角形斜边长就是
。
似地可作
作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角 （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形
，这样斜边
。斜边为
、
、
； 、
的长度就是
举一反三
、、、。
【变式】在数轴上表示 解析：可以把
的点。
，
看作是直角三角形的斜边，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径，
以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为
。
类型五：逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确）
3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形.
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=
AB。
请问FE与DE是否垂直?请说明。
经典例题精析
类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积。
注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a。
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。
【变式4】（1）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40
（2）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长是______．
【变式5】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是______．
苏教版 八年级上 数学 勾股定理 常考题型分类汇总 知识点+经典例题+变式题
