过点C作对称轴l的垂线,垂足为D,如图所示, ∴x=－
b2a???32?1?32.∴AE=OE-OA=
32-1=
12,∵∠APC=90°,
3∴tan∠PAE= tan∠CPD∴
PEEA?CDDP,即
PE12?22?PE，解得PE=
12或PE=
32，
∴点P的坐标为（，
2312）或（
32，
32）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）
（3）如图，易得直线BC的解析式为：y=-x＋2，
∵点M是直线l′和线段BC的交点，∴M点的坐标为（t，-t+2）(0＜t＜2) ∴MN=-t+2-(t2－3t＋2)=- t2＋2t ∴S△BCM= S△MNC+S△MNB==
1212
MN?t+
12MN?(2-t)
MN?(t+2-t)=MN=- t2＋2t(0＜t＜2),
∴S△BCN=- t2＋2t=-(t-1)2+1
∴当t=1时，S△BCN的最大值为1。
41．（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=?x轴
交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC． 全品中考网
(1)点A的坐标为_______ ，点C的坐标为_______ ；
学通教育资源库www.xuetongedu.com 中小学理科培优专业机构
14x?232x?4的图象与y轴交于点A，与
(2)线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得△PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?
【答案】
学通教育资源库www.xuetongedu.com 中小学理科培优专业机构
42．（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过O（0，0）、A（4，0）、B（3，?233）
三点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）以OA的中点M为圆心，OM长为半径作⊙M，在（1）中的抛物线上是否存在这
样的点P，过点P作⊙M的切线l ，且l与x轴的夹角为30°，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号）
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为：y?ax?bx?c(a?0)
2学通教育资源库www.xuetongedu.com 中小学理科培优专业机构
??c?0??由题意得：?16a?4b?c?0??9a?3b?c??23?3?
解得：a?239,b??839239,c?0
∴抛物线的解析式为：y?x?2839x
（2）存在
抛物线y?239x?2
l′
839x的顶点坐标是(2,?839， )，作抛物线和⊙M（如图）
设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点B，与⊙M相切于点C 连接MC，过C作CD⊥ x 轴于D
∵ MC = OM = 2, ∠CBM = 30°, CM⊥BC
∴∠BCM = 90° ，∠BMC = 60° ，BM = 2CM = 4 , ∴B (-2, 0) 在Rt△CDM中，∠DCM = ∠CDM - ∠CMD = 30° ∴DM = 1, CD =
CM?DM22=3 ∴ C (1, 3)
设切线 l 的解析式为:y=kx+b(k 0)，点B、C在 l 上，可得：
?323?k?b?3,b? 解得： k? ?33???2k?b?0学通教育资源库www.xuetongedu.com 中小学理科培优专业机构
∴切线BC的解析式为：y?∵点P为抛物线与切线的交点
33x?233
1??23283x??y?x?x1??2??99由? 解得：?
323?y?3?y?x?1???233??x2?6??83 ?y2?3?∴点P的坐标为：P1(?12,32)， P2(6,833)
∵ 抛物线y?239x?2839x的对称轴是直线x?2
此抛物线、⊙M都与直线x于是作切线 l 关于直线x得到B、C关于直线
?2成轴对称图形
?2的对称直线 l′(如图)
x?2的对称点B1、C1
?2的对称点：
l′满足题中要求，由对称性，得到P1、P2关于直线x9383P3(,) ，P4(?2,)即为所求的点. 223123283∴这样的点P共有4个：P1(?,)，P2(6,9383)，P3(,)，P4(?2,) 322343．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（—1，0），B（3，0），
C（0，—1）三点。
（1）求该抛物线的表达式；
（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行
四边形，求所有满足条件的点P的坐标。
【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为y?ax?bx?c。根据题意，得、
2学通教育资源库www.xuetongedu.com 中小学理科培优专业机构
2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2
