得2a=－即
9414x（3a）2+
1152x3a.
a2—
解得 a1=∴OP=
2292229a=0
，a2=0（舍去）
②依题意作等腰直角三角形QMN. 设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A(10 ，0)，点B（2，4），求得直线AB的解析式为y=－
12x+5
当P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以
下三种情况：
第一种情况：CD与NQ在同一条直线上，如图2所示，
可证△DPQ为等腰直角三角形．此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单
位． ∴PQ = DP = 4t ∴t+4t+2t=10 ∴t=107
第二种情况：PC与MN在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM为等腰直角三角形．
此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位， ∴OQ = 10 － 2t ∵F点在直线AB上 ∴FQ=t ∵MQ=2t ∴PQ=MQ=CQ=2t
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∴t+2t+2t=10 ∴t=2.
第三种情况：点P、Q重合时，PD、QM在同一条直线上，如图4所示，此时OP、AQ的
长依次表示为t、2t个单位．
∴t+2t=10 ∴t=
103
107综上，符合题意的值分别为，2，
103．
36．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数y?x2的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.
（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.
（2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？
【答案】解：画图如图所示： 依题意得：y?(x?1)2?2 =x?2x?1?2 =x?2x?1
∴平移后图像的解析式为：x?2x?1 （2）当y=0时，x?2x?1=0 (x?1)?2 x?1??2 x1?1?2，x2?1?2
22222∴平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（1?2，0）和（1?2，0）
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由图可知，当x<1?2或x>1?22时，二次函数y?(x?1)?2的函数值大于0.
37．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线y?ax2?bx?c与x轴相交于两点A(1，0)，B(3，0).与y轴相较于点C（0，3）． （1）求抛物线的函数关系式； （2）若点D（的面积．
y4372是抛物线y?ax?bx?c上一点，请求出m的值，并求处此时△ABD ,m）
221?2?1O?1?21234x ?a?b?c?0?a?1??【答案】解：（1）由题意可知?9a?3b?c?0 解得?b??4
?c?3?c?3??所以抛物线的函数关系式为y?x2?4x?3． （2）把D（所以S?ABD72752,m）代人函数解析式y?x?4x?3中，得m?()?4??3?． 2224155??(3?1)??． 2442738．（2010湖北随州）已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C（1，1）且过原点O.过抛物线上一点P（x，y）向直线y?（1）求字母a，b，c的值；
（2）在直线x＝1上有一点F(1,)，求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标，并
4354作垂线，垂足为M，连FM（如图）.
证明此时△PFM为正三角形；
（3）对抛物线上任意一点P，是否总存在一点N（1，t），使PM＝PN恒成立，若存在请求
出t值，若不存在请说明理由.
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【答案】（1）a＝－1，b＝2，c＝0
（2）过P作直线x=1的垂线，可求P的纵坐标为MF＝PF＝1，故△MPF为正三角形. （3）不存在.因为当t＜
541412，横坐标为1?3.此时，MP＝
，x＜1时，PM与PN不可能相等，同理，当t＞
54，x＞1时，
PM与PN不可能相等.
39．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.
【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，则有
1b?c?0,??16a?4a?,??2 ?c??4, 解得?
?4a?2b?c?0.?b?1,??c??4.??12
∴抛物线的解析式y=x+x﹣4
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（2）过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为（m，n）. 则AD=m+4，MD=﹣n，n=
12m2＋m－4 .
∴S = S△AMD+S梯形DMBO－S△ABO =
12( m+4) (﹣n)＋
12(﹣n＋4) (﹣m) －
123434
= ﹣2n-2m-8 = ﹣2(
2
12m＋m－4) -2m-8
2
= ﹣m-4m (－4< m < 0)
∴S最大值 = 4
（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4）， （-2+25，2－25），（-2－25，2＋25）
40．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于
点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？
【答案】解：（1）∵抛物线y=x2＋bx＋c过点C(0,2). ∴x=2 又∵tan∠OAC=
OCOA=2, ∴OA=1,即A(1,0).
又∵点A在抛物线y=x2＋bx＋2上. ∴0=12＋b31＋2,b=－3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2－3x＋2 （2）存在
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2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2
