得2a=-即
9414x(3a)2+
1152x3a.
a2—
解得 a1=∴OP=
2292229a=0
,a2=0(舍去)
②依题意作等腰直角三角形QMN. 设直线AB的解析式y=k2x+b
由点A(10 ,0),点B(2,4),求得直线AB的解析式为y=-
12x+5
当P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,有以
下三种情况:
第一种情况:CD与NQ在同一条直线上,如图2所示,
可证△DPQ为等腰直角三角形.此时QP、OP、AQ的长可依次表示为t 、4t、 2t个单
位. ∴PQ = DP = 4t ∴t+4t+2t=10 ∴t=107
第二种情况:PC与MN在同一条直线上,如图3所示.可证△PQM为等腰直角三角形.
此时OP、AQ的长依次表示为t、2t个单位, ∴OQ = 10 - 2t ∵F点在直线AB上 ∴FQ=t ∵MQ=2t ∴PQ=MQ=CQ=2t
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∴t+2t+2t=10 ∴t=2.
第三种情况:点P、Q重合时,PD、QM在同一条直线上,如图4所示,此时OP、AQ的
长依次表示为t、2t个单位.
∴t+2t=10 ∴t=
103
107综上,符合题意的值分别为,2,
103.
36.(2010云南红河哈尼族彝族自治州)二次函数y?x2的图像如图8所示,请将此图像向右平移1个单位,再向下平移2个单位.
(1)画出经过两次平移后所得到的图像,并写出函数的解析式.
(2)求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标,指出当x满足什么条件时,函数值大于0?
【答案】解:画图如图所示: 依题意得:y?(x?1)2?2 =x?2x?1?2 =x?2x?1
∴平移后图像的解析式为:x?2x?1 (2)当y=0时,x?2x?1=0 (x?1)?2 x?1??2 x1?1?2,x2?1?2
22222∴平移后的图像与x轴交与两点,坐标分别为(1?2,0)和(1?2,0)
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由图可知,当x<1?2或x>1?22时,二次函数y?(x?1)?2的函数值大于0.
37.(2010云南楚雄)已知:如图,抛物线y?ax2?bx?c与x轴相交于两点A(1,0),B(3,0).与y轴相较于点C(0,3). (1)求抛物线的函数关系式; (2)若点D(的面积.
y4372是抛物线y?ax?bx?c上一点,请求出m的值,并求处此时△ABD ,m)
221?2?1O?1?21234x ?a?b?c?0?a?1??【答案】解:(1)由题意可知?9a?3b?c?0 解得?b??4
?c?3?c?3??所以抛物线的函数关系式为y?x2?4x?3. (2)把D(所以S?ABD72752,m)代人函数解析式y?x?4x?3中,得m?()?4??3?. 2224155??(3?1)??. 2442738.(2010湖北随州)已知抛物线y?ax?bx?c(a?0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x,y)向直线y?(1)求字母a,b,c的值;
(2)在直线x=1上有一点F(1,),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并
4354作垂线,垂足为M,连FM(如图).
证明此时△PFM为正三角形;
(3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求
出t值,若不存在请说明理由.
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【答案】(1)a=-1,b=2,c=0
(2)过P作直线x=1的垂线,可求P的纵坐标为MF=PF=1,故△MPF为正三角形. (3)不存在.因为当t<
541412,横坐标为1?3.此时,MP=
,x<1时,PM与PN不可能相等,同理,当t>
54,x>1时,
PM与PN不可能相等.
39.(2010河南)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(4,0),B(0,一4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值;
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、0为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
【答案】(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),则有
1b?c?0,??16a?4a?,??2 ?c??4, 解得?
?4a?2b?c?0.?b?1,??c??4.??12
∴抛物线的解析式y=x+x﹣4
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(2)过点M作MD⊥x轴于点D.设M点的坐标为(m,n). 则AD=m+4,MD=﹣n,n=
12m2+m-4 .
∴S = S△AMD+S梯形DMBO-S△ABO =
12( m+4) (﹣n)+
12(﹣n+4) (﹣m) -
123434
= ﹣2n-2m-8 = ﹣2(
2
12m+m-4) -2m-8
2
= ﹣m-4m (-4< m < 0)
∴S最大值 = 4
(3)满足题意的Q点的坐标有四个,分别是:(-4 ,4 ),(4 ,-4), (-2+25,2-25),(-2-25,2+25)
40.(2010四川乐山)如图(13.1),抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于
点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2.
(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠APC=90°,若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图(13.2)所示,连接BC,M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点,过点M作直线l′∥l,交抛物线于点N,连接CN、BN,设点M的横坐标为t.当t为何值时,△BCN的面积最大?最大面积为多少?
【答案】解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c过点C(0,2). ∴x=2 又∵tan∠OAC=
OCOA=2, ∴OA=1,即A(1,0).
又∵点A在抛物线y=x2+bx+2上. ∴0=12+b31+2,b=-3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x2-3x+2 (2)存在
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2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2



