当直线y?x?b(b?1)经过B点时，可得b??3.
由图可知符合题意的b的取值范围为?3?b?1 32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A（-1，0），B（0，2），一动点P沿过B点且垂直于AB的射线BM运动，P点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM与x轴交与点C．
（1）求点C的坐标．
（2）求过点A、B、C三点的抛物线的解析式．
（3）若P点开始运动时，Q点也同时从C出发，以P点相同的速度沿x轴负方向向点A运动，t秒后，以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形．（点P到点C时停止运动，点Q也同时停止运动）求t的值．
（4）在（2）（3）的条件下，当CQ=CP时，求直线OP与抛物线的交点坐标．
【答案】
（1）点C的坐标是（4，0）；
（2）设过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax+bx+c（a≠0），将点A、B、C三点的坐标代入得：
1?a???2?a?b?c?313??c解得?b?，∴抛物线的解析式是：y= ?x2+x+2．
222??16a?4b?c?c?2??2
?0??2?0?（3）设P、Q的运动时间为t秒，则BP=t，CQ=t．以P、Q、C为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．
①若CQ=PC，如图所示，则PC= CQ=BP=t．∴有2t=BC=25，∴t=5．
②若PQ=QC，如图所示，过点Q作DQ⊥BC交CB于点D，则有CD=PD．由△ABC∽△QDC，可得出PD=CD=255t，∴455t?25?t，解得t=40?10511．
③若PQ=PC，如图所示，过点P作PE⊥AC交AC于点E，则EC=QE=
255PC，∴
12t=
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（25-t），解得t=325?4011．
（4）当CQ=PC时，由（3）知t=5，∴点P的坐标是（2，1），∴直线OP的解析式是：y=
12x，因而有
12x =?12x+
522
322
x+2，即x-2x-4=0，解得x=1±5，∴直线OP与抛物线的
交点坐标为（1+5，1?）和（1-5，1?25）．
33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴两交点的坐标分别为
（m，0），（?3m，0）（m?0）．
（1）证明4c?3b2；
（2）若该函数图象的对称轴为直线x?1，试求二次函数的最小值．
【答案】（1）证明：依题意，m，?3m是一元二次方程x2?bx?c?0的两根．
根据一元二次方程根与系数的关系，得m?(?3m)??b，m?(?3m)??c．
∴b?2m，c?3m2． ∴4c?3b2?12m2． （2）解：依题意，?由（1）得c?34b?2b234?1，∴b??2． ?(?2)?3．
2∴y?x2?2x?3?(x?1)2?4． ∴二次函数的最小值为?4．
34．（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y?x2?bx?c的图象与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．
（2）连结PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POPC， 那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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?3b?c?0【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入得?
c??3?解得：??b??2?c??3
所以二次函数的表达式为：y?x2?2x?3
（2）存在点P，使四边形POPC为菱形．设P点坐标为（x，x2?2x?3）， PP交CO于E
若四边形POPC是菱形，则有PC＝PO．
连结PP 则PE⊥CO于E，
////
∴OE=EC=∴y=?232
32．
32∴x?2x?3=?
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解得x1=
2?210，x2=
2?210（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（
2?210，?32）…………………………8分
（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，
设P（x，x2?2x?3），
易得，直线BC的解析式为y?x?3 则Q点的坐标为（x，x－3）.
S四边形ABPC?S?ABC?S?BPQ?S?CPQ??12?4?3?122212AB?OC?12QP?OE?12QP?EB
(?x?3x)?3
3?3?75=??x???
2?2?8当x?32时，四边形ABPC的面积最大
?3?215??，四边形ABPC的 4?此时P点的坐标为?,?面积的最大值为758．
m?14x?235．（2010北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y??5m4x?x?3m?2与
2x轴的交点分别为原点O和点A，点B（2，n）在这条抛物线上． （1）求B点的坐标；
（2）点P在线段OA上，从O点出发向A点运动，过P点作x轴的垂线，与直线OB交
与点E，延长PE到点D，使得ED=PE，以PD为斜边，在PD右侧做等等腰直角三角
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形PCD（当P点运动时，C点、D点也随之运动）．
① 当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；
② 若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一
个点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动）．过Q点做x轴的垂线，与直线AB交与点F，延长
QF到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN（当Q点运动时，M点、N点也随之运动）．若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分y 别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值．
4 m?125m2【答案】解：（1）∵抛物线y??x?x?m?3m?2经过原点， 3 44∴m2—3m+2=0. 解的m1=1，m2=2. 由题意知m≠1. ∴m=2，
∴抛物线的解析式为y??14x?1422 1 －4 －3 －2 －1 O －1 －2 1 2 3 4 x 522－3 x 52x，
－4 ∵点B（2，n）在抛物线y??x?（第24题）
n=4.
∴B点的坐标为（2，4）
（2）①设直线OB的解析式为y=k1x 求得直线OB的解析式y=2x
∵A点是抛物线与x轴的一个交点， 可求得A点的坐标为（10，0），
设P点的坐标为（a，0），则E点的坐标为（a，2a）． 根据题意做等腰直角三角形PCD，如图1.
可求得点C的坐标为（3a，2a）， 有C点在抛物线上，
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2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2
