28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得ΔFMN，过ΔFMN三边的中点作ΔPQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题： （1）说明ΔFMN∽ΔQWP；
（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，ΔPQW为直角三角形？当x在何范围时，ΔPQW不为直角三角形？
（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．
．
【答案】解：（1）由题意可知P、W、Q分别是ΔFMN三边的中点， ∴PW是ΔFMN的中位线，即PW∥MN ∴ΔFMN∽ΔQWP
（2）由题意可得 DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x， 由勾股定理分别得 FM2=4?x2，
MN2=(4?x)+(6?x)
222FN=(4?x)+16
2①当MN=FM2+FN时，(4?x)+(6?x)=4?x+(4?x)+16 解得 x?222222243
22②当FN=FM2+MN时，(4?x)+16=4?x+(4?x)+(6?x) 此方程无实数根
③FM2=MN+FN时，4?x=(4?x)+(6?x)+(4?x)+16 解得 x1?10（不合题意，舍去），x2?4 综上，当x?43222222222或x?4时，ΔPQW为直角三角形；
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当0≤x＜
43或
43＜x＜4时，ΔPQW不为直角三角形
（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2； ②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=(x?4)2+(6?x)2
=2(x?5)2?2
当x=5时，MN2取得最小值2， ∴当x=5时，线段MN最短，MN=2． 29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线y?0)两点，与y轴交于C点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设E是线段AB上的动点，作EF//AC交BC于F，连接CE，当△CEF的面积是△BEF
面积的2倍时，求E点的坐标;
（3）若P为抛物线上A、C两点间的一个动点，过P作y轴的平行线，交AC于Q，当P
点运动到什么位置时，线段PQ的值最大，并求此时P点的坐标．
y
12x?bx?c与x轴交于A (－4，0) 和B(1，
2A
O C 图9
B
x
1x?bx?c与x轴交于A(?4,0)、B(1,0)两点可得：
3??b?，2 ??c??2．?2【答案】解：（1）由二次函数y?2?12(?4)?b?4c?，0??2 ? 解得：
?1?12?b?c?0．??2 故所求二次函数的解析式为y?（2）∵S△CEF=2 S△BEF, ∴
BFCF?12,BFBC12x??13.
232x?2．
∵EF//AC, ∴?BEF??BAC, ?BFE??BCA, ∴△BEF～△BAC, ∴
BEBA?BFBC?13,得BE?2353,
故E点的坐标为(?,0).
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（3）解法一：由抛物线与y轴的交点为C，则C点的坐标为（0，－2）．若设直线AC1???2?0?b,?k??,的解析式为y?kx?b，则有? 解得：?2
0??4k?b．??b??2．?故直线AC的解析式为y?－??112x?2．
若设P点的坐标为?a,a2?23?a?2?，又Q点是过点P所作y轴的平行线与直线2?12a?2)．则有：
AC的交点，则Q点的坐标为（a,? PQ?[?(＝?1223a?22112a?2)]?(?a＝?2a)?2a
22?2
12?a?2?即当a??2时，线段PQ取大值，此时P点的坐标为（－2，－3）
解法二：延长PQ交x轴于D点，则PD?AB．要使线段PQ最长，则只须△APC的面积取大值时即可. 设P点坐标为（x0,y0)，则有:
S?APC?S?ADP?S梯形DPCO?S?ACO ＝
12AD?PD?1212(PD?OC)?OD?1212OA?OC 12?4?2
＝?x0y0?2y0???y0?2????x0?? ＝?2y0?x0?4
3?12?＝?2?x0?x0?2??x0?4
2?2?＝?x20?4x0 ＝－?x20?2??4
2即x0??2时，△APC的面积取大值，此时线段PQ最长，则P点坐标
为（－2，－3）
30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线y?x?x?4与y轴交于点A，E（0，b）为y轴上一动点，过点E的直线y?x?b与抛物线交于点B、C. （1）求点A的坐标；
（2)当b=0时（如图（2）），?ABE与?ACE的面积大小关系如何？当b??4时，上述关系还成立吗，为什么？
（3）是否存在这样的b，使得?BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由.
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yyCCEBOxEOBAxA图（1） 第26题 图（2） 【答
（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为（0，－4）
?y?x?x1?2?x2??2（2）当b＝0时，直线为y?x，由?解得， ??2?y1?2?y2??2?y?x?x?4所以B、C的坐标分别为（－2，－2），（2，2）
S?ABE?12?4?2?4，S?ACE?12?4?2?4
所以S?ABE?S?ACE（利用同底等高说明面积相等亦可） 当b??4时，仍有S?ABE?S?ACE成立. 理由如下
y??y?x?b?x1?由?，解得?2y?x?x?4???y1?b?4??x2??b?4，? b?4?b??y2??b?4?bBGCROF所以B、C的坐标分别为（－b?4，－b?4+b），（b?4，b?4+b）， 作BF?y轴，CG?y轴，垂足分别为F、G，则BF?CG?而?ABE和?ACE是同底的两个三角形，
所以S?ABE?S?ACE. （3）存在这样的b.
因为BF?CG,?BEF??CEG,?BFE??CGE?90? 所以?BEF??CEG
所以BE?CE，即E为BC的中点
所以当OE=CE时，?OBC为直角三角形 因为GE?所以 CE?b?4?b?b?b?4?GC
b?4， Q2?b?4，而OE?b
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所以2?b?4?b，解得b1?4,b2??2，
所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形.
31．（2010湖南怀化）图9是二次函数y?(x?m)2?k的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x轴的交点A,B的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点P，使S?PAB?54S?MAB,若存在，求出P点的
坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变， 得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b(b?1)与此 图象有两个公共点时，b的取值范围.
图9
【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y?(x?m)2?k的顶点坐标，
所以y?(x?1)2?4?x2?2x?3 令x?2x?3?0,解之得x1??1,x2?3. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P，使S?PAB?设p(x,y),则S?PAB?∴2y?541254S?MAB
12AB??4?8,
2AB?y?2y，又S?MAB??8,即y??5.
∵二次函数的最小值为-4，∴y?5. 当y?5时，x??2,或x?4.
故P点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分 （3）如图1，当直线y?x?b(b?1)经过A点时，可得
b?1.……………8分
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图1
2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题十八·二次函数的图象和性质2
