立体几何中的计算
A级——高考保分练
1．若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为________．
解析：由题意，得圆锥的母线长l＝1＋2＝5，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×5＝5π. 答案：5π
2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm，高为6 cm，那么它的体积为________cm. 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm， 由题意得6x×6＝72，所以x＝2， 于是其体积V＝答案：363
3．(2019·南京学情调研)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥
323
×2×6×6＝363 (cm). 4
2
3
2
2
A1-B1C1CB的体积是________．
解析：如图，取B1C1的中点E，连结A1E，易证A1E⊥平面BB1C1C，所以
A1E为四棱锥A1B1C1CB的高，所以V四棱锥A1-B1C1CB＝S矩形BB1C1C×A1E＝
×(2×3)×3＝23.
答案： 23
1313
4．(2019·常州期末)已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上(如图)，则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为________．
- 1 -
解析：设圆锥底面半径为2r，高为2h，则圆柱底面圆半径为r，高为h，所以πrh1
π2r3
22
V圆柱
＝V圆锥
·2h3＝. 8
3答案：
8
5．(2019·苏州期末)如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为________．
解析：正三棱锥的底面正三角形的边长为2×2×cos 30°＝23，
1
底面正三角形的面积S＝×23×23×sin 60°＝33，三棱锥的高h＝2.所以正三棱锥的
21
体积V＝×33×2＝23.
3
答案：23
6．已知球O与棱长为4的正四面体的各棱相切，则球O的体积为________．
解析：将正四面体补成正方体，则正四面体的棱为正方体面上的对角线，因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为22.因为球O与正四面体的各棱都相切，所以球O为正方4382
体的内切球，即球O的直径2R＝22，则球O的体积V＝πR＝π.
33
82
答案：π
3
7．(2019·姜堰中学检测)已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝2，E为AD的中点，现分别沿
BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体PBCE的外接球表面积为
________．
解析：在几何体PBCE中，PB⊥PC，PB⊥PE，PC⊥PE，即三棱锥可以补成以PB，PC，PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径，即2r＝105π
接球的表面积为4×π×＝.
162
5π答案：
2
8．已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为________． 解析：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则l＝4－4r，0 2 2 1＋1＋? 22 1010?2?2 ?＝2，故r＝4，外?2? 1－r2 ≤2π[r＋(1－r)]＝2π，当且仅当r＝1－r，即 2222 - 2 - r＝ 2 时取“＝”，所以这个圆柱的侧面积的最大值为2π. 2 答案：2π 9．有一个体积为2的长方体，它的长、宽、高依次为a，b,1.现将它的长增加1，宽增 加2，且体积不变，则所得新长方体高的最大值为________． ??ab＝2， 解析：设所得新长方体的高为h.根据题意，得? ?a＋1? b＋2h＝2， 所以h＝ 2 a＋1b＋2 ＝ 2221 ＝≤＝，当且仅当2a＝b，即a＝1，bab＋2a＋b＋22a＋b＋422ab＋44 1 ＝2时取等号．故所得新长方体高的最大值为. 4 1答案： 4 10.(2019·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一 个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)． 解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝1＋2＋5＝30，得4R＝30.从而S球面＝4πR＝30π. 答案：30π 11．已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的表面积为S，求其内接正四棱柱的体积． 解：设等边圆柱的底面半径为r，则高h＝2r. 因为S＝S侧＋2S底＝2πrh＋2πr＝6πr， 所以r＝ 2 2 2 2 2 2 2 S6π ， 所以内接正四棱柱的底面边长a＝2rsin 45°＝2r， 所以内接正四棱柱的体积V＝S底 ·h＝(2r)·2r＝4r＝ 23 S6πS9π 2 . 12.如图，在五面体ABCDFE中，底面ABCD为矩形，EF∥AB，BC⊥FD，过BC的平面交棱FD于P，交棱FA于Q. (1)证明：PQ∥平面ABCD； - 3 - 2 (2)若CD⊥BE，EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，求五面体ABCDFE的体积． 3 解：(1)证明：因为底面ABCD为矩形，所以AD∥BC.又AD?平面ADF，BC?平面ADF， 所以BC∥平面ADF. 又BC?平面 BCPQ，平面BCPQ∩平面ADF＝PQ，所以BC∥PQ. 又PQ?平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以PQ∥平面ABCD. (2)由CD⊥BE，CD⊥CB， 易证CD⊥CE. 由BC⊥CD，BC⊥FD， 易证BC⊥平面CDFE， 所以CB⊥CE，即CD，CE，CB两两垂直． 2 如图，连接FB，FC，因为EF＝EC＝1，CD＝2EF＝BC，所以CD＝2，BC＝3， 3 V四棱锥F-ABCD＝×(2×3)×1＝2， 1?11?V三棱锥F-BCE＝×?×3×1?×1＝， 3?22?所以VABCDFE＝V四棱锥F-ABCD＋V三棱锥F-BCE 15 ＝2＋＝. 22 B级——难点突破练 1．已知底面半径为1，高为3的圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，则球O的表面积为________． 解析：如图，△ABC为圆锥的轴截面，O为其外接球的球心，设外接球的半径为R，连接OB，OA，并延长AO交BC于点D，则AD⊥BC，由题意知，AO＝BO＝R，BD＝1，AD＝3，则在Rt△BOD中，有R＝(3－R)＋2316π22 1，解得R＝，所以外接球O的表面积 S＝4πR＝. 33 16π 答案： 3 1 2. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切， 2其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm. - 4 - 3 2 2 13 解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4 为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为42?1?31 －4×π×??＝＋π. 3?2?32 2??1 答案：?＋?π ?32? 3．如图①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图②所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结 222?? ，所以注水高为1＋.故应注水体积为π?1＋?222?? AB，设点F是AB的中点． (1)求证：DE⊥平面BCD； (2)若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG的体积． 解：(1)证明：在题图①中， 因为AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，所以∠ACB＝60°. 因为CD为∠ACB的平分线， 所以∠BCD＝∠ACD＝30°，所以CD＝23. 又因为CE＝4，∠DCE＝30°，所以DE＝2. 则CD＋DE＝CE，所以∠CDE＝90°，即DE⊥CD. 在题图②中，因为平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，DE?平面ACD， 所以DE⊥平面BCD. (2)在题图②中，因为EF∥平面BDG，EF?平面ABC，平面ABC∩平面BDG＝BG，所以EF∥BG. 因为点E在线段AC上，CE＝4，点F是AB的中点， 所以AE＝EG＝CG＝2. - 5 - 2 2 2
文理通用江苏省2020高考数学二轮复习专题二立体几何的计算练习题汇编
