沪教版（五四制）六年级数学下册 5.1有理数的概念及分类 讲义（无答案）
第一讲 有理数的概念及分类
整数、分数、正数、负数、有理数
一、 有理数的分类
有理数：整数和分数统称为有理数。
???正整数??正整数正有理数自然数??????正分数??整数?零????有理数（按定义分类）有理数（按符号分类）零负整数?????负整数正分数??分数?负有理数??????负分数?负分数??
注意：（1）正数和零统称为非负数；（2）负数和零统称为非正数；
（3）正整数和零统称为非负整数；（4）负整数和零统称为非正整数。
二、 小数与有理数
?有限小数???可化成分数形式，是有理数小数?无限循环小数???无限不循环小数——不可化成分数形式，不是有理数 申申：建议讲到实数为界，可谈一谈第二次数学危机——2的产生。
【前铺1】 ⑴如果?3吨表示运入仓库的大米吨数，
那么运出5吨大米表示为（ ）
A．?5吨 B．?5吨 C．?3吨 D．?3吨 ⑵零上13?C记作?13?C，零下2?C可记作（ ）
A．2 B．?2 C． 2?C D． ?2?C
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⑶
汽车向东行驶5千米记作5千米，那么汽车向西行驶5千米记作（ ） A．5千米 B．?5千米 D．10千米 D．0千米 ⑷某公车原先有22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（?4，，?8）（?5，?6），（?3，?2），（?1，?7），则车上还有 人．
【前铺2】 在下表适当的空格里打上“√”号． 整分正负整正分数 数 数 数 数 0 ?1.5 1 4?0.62 ?3 0.31 π 9 ? 8 注：“0”的9种说法：
1) 既不是正数也不是负数的数． 2) 最大的非正数． 3) 最小的非负数．
4) 与其相反数相等的数． 5) 最小的非负整数． 6) 最大的非正整数． 7) 最小的自然数．
8) 绝对值最小的有理数． 9) 没有倒数的数．
非负数 非负整数 无理数
1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8)
【例题1】 判断下列说法正确与否 一个有理数不是整数就是分数 （ ） 一个有理数不是正数就是负数 （ ） 一个整数不是正的，就是负的 （ ） 一个分数不是正的，就是负的 （ ）
当一个数由小变大时，它的绝对值也由小变大（ ） 没有最大的非负数，也没有最小的非负数（ ）
不相等的两个数，它们的绝对值一定也不相等（ ） 只有负数的绝对值等于它的相反数（ ）
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【例题2】 如果a?0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数
⑴?(?a)；⑵?(?a)；⑶???(?a)?；⑷???(?a)?；⑸???????a???
【例题3】 （1）三个互不相等的有理数，既可以表示为1,a?b,a的形式，也可以
??b表示为0,,b的形式，则a2012?b2012?ab的值为多少？
a（2）四个互不相等的有理数，既可以表示为1,2a?b,ab,a的形式，又可表示为0,a?1,b?1,?a的形式，求：a3?b3的值
【例题4】 已知在x?y，x?y，xy，
x四个数中的三个有相同的数值，求出所y有具有这样性质的数对（x，y）。
数轴、相反数、倒数、负倒数
一、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
（1） 原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可。
（2） 单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者指所取度量单位的长度，后者指所取度量单位的名称，即单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可长可短，按实际情况来规定，同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变。 (3)有理数与数轴的关系：
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来； ②注意：数轴上的点不都代表有理数，如?； ③数轴上右边的数总大于左边的数。 (4)数轴画法的常见错误举例： 错例 23原因 无原点 201没有正方向 3 / 7
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234单位长度不统一 没有单位长度 0
二、 相反数
1、实数a的相反数是?a，零的相反数是零 2、数轴上表示相反数的两个点关于原点对称
3、如果a与b互为相反数，那么a?b?0，a??b，b??a 4、如果a与b互为相反数，且都不为零，那么
a??1 b三、 倒数与负倒数
1、如果两个数的积等于1，那么这两个数互为倒数；零没有倒数
11，a? ab113、如果a与b互为负倒数，那么ab??1，b??，a??
ab2、如果a与b互为倒数，那么ab?1，b?
【例题5】 ⑴在数轴上表示下列各数，再按大小顺序用“＜”号连接起来.
11?4，0，?4.5，?1，2，3.5，1，2
22⑵如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为_________.
-1.32.6
（3）数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是 _________.
【例题6】 在数轴上，点A和点B都在与?15对应的点上，若点A以每秒3个单4位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A和点B所处的位置对应的数是什么？这时线段AB的长度是多少？
【例题7】 （1）若a,b互为相反数，c,d互为负倒数，则(a?b)1996?(cd)323?
（2）已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于5，试求：
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x2?(a?b?cd)x?(a?b)2004?(?cd)2005的值
【拓展】 已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于2，试求：
x2?(a?b?cd)x?(a?b)2003?(?cd)2003的值．
【例题8】 『第17届希望杯』a和b是满足ab≠0的有理数，现有四个命题：
a?22?a的相反数是； b2?4b2?4②a?b的相反数是a的相反数与b的相反数的差； ③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；
④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．其中真命题有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ①
【拓展】
(第16届希望杯2试)如果(a?b)2?(a?b)2?4，则一定成立的是( )
A．a是b的相反数 B．a是?b的相反数 C．a是b的倒数
D．a是?b的倒数
【例题9】 （1）在有理数a与?a(a?0)之间（不含a与?a）有2003个整数，那
么a的取值范围是（ ）
1（2）在数轴上任取一条长度为1999的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点
9的个数是
【例题10】 如图，数轴上标有2n?1个点对应的都是整数（它们称为整点）.它们
对应的整数分别是
?n,?(n?1),?(n?2),...,?3,?2,?1,0,1,2,3,...,n?2,n?1,n，为了确
保从这些整点中可以取出2009个，其中任何两个点之间的距离不等于4, 问n的最小值是多少?
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