解析 ∵sinα＝1－2sinα，∴2sinα＋sinα－1＝0. ∴(2sinα－1)(sinα＋1)＝0，∵α∈?
22
?π，π?，
?
?2?
13
∴2sinα－1＝0.∴sinα＝，∴cosα＝－. 22∴tanα＝－
3
. 3
15．(2024·全国卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin(α＋β)＝________.
1
答案 －
2
解析 解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)＋(－cosα)
2
2
1111＝1，所以sinα＝，所以cosβ＝，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×－
2222111122
cosα＝－1＋sinα＝－1＋＝－.
4442
解法二：由(sinα＋cosβ)＋(cosα＋sinβ)＝1，得2＋2sin(α＋β)＝1，所以sin(α1
＋β)＝－.
2
2
2
xx65π2x16．(2024·青岛模拟)已知不等式32sincos＋6cos－－m≤0对任意的－≤44426x≤恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 [3，＋∞) π
6
xx632x6x2x解析 依题意得，32sincos＋6cos－－m＝sin＋cos－m＝644422222
?xπ??5ππ??xπ??5ππ?sin?＋?－m≤0在?－，?上恒成立，∴m≥6sin?＋?在?－，?上恒成立，由6?6??26??6?26??6
πxππ
于－≤＋≤，
4264
?xπ?∴－3≤6sin?＋?≤3，故m≥3. ?26?
5?π?17．(2024·江苏镇江模拟)已知α∈?，π?，sinα＝. 5?2?
?π?(1)求sin?＋α?的值；
?4?
(2)求cos?
?5π－2α?的值．
?
?6?
5?π?解 (1)因为α∈?，π?，sinα＝， 5?2?252
所以cosα＝－1－sinα＝－. 5故sin?
?π＋α?＝sinπcosα＋cosπsinα＝2×?25?＋2×5＝－10.
??－?442?510?4?5?2
5?25?42
×?－＝－，cos2α＝1－2sinα＝1－2?5?55?
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcosα＝2××?
?5?23
?＝， ?5?5
5π5π3?31?4???5π?所以cos?－2α?＝coscos2α＋sinsin2α＝?－?×＋×?－?＝－66?6??2?52?5?
4＋33
. 10
π??18．(2024·浙江金华十校模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，0<φ
?π?(1)求ω和f??的值；
?2?
?α?3
(2)若f??＝(0<α<π)，求sinα.
?2?5
π?2π?解 (1)∵函数f(x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，0<φ
得cosφ＝－1(舍去)或cosφ＝，
2π?π?∴φ＝，故f(x)＝sin?2x＋?， 3?3?π?3?π??故f??＝sin?π＋?＝－.
3?2?2??
π?3π?3π?α???(2)∵f??＝sin?α＋?＝<，∴α＋为钝角，故cos?α＋?＝－
3?523?3?2???π?42?1－sin?α＋?＝－，
3?5?π?π???故sinα＝sin??α＋?－?
3?3???
π?ππ?π??＝sin?α＋?cos－cos?α＋?sin
3?3?33??
2
3143＝×＋× 5252＝
3＋43
. 10
?π??π?19．(2024·重庆南开中学四检)已知函数f(x)＝4cos?－x?cos?x－?－3.
3??2??
(1)求f(x)的单调递增区间；
?ππ?(2)求f(x)在区间?，?上的值域．
?43?
ππ??解 (1)f(x)＝4sinx·?cosxcos＋sinxsin?－3 33??3?1?
＝4sinx·?cosx＋sinx?－3
2?2?＝2sinxcosx＋23sinx－3 ＝sin2x＋3·(1－cos2x)－3 ＝sin2x－3cos2x π??＝2sin?2x－?，
3??
πππ
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
232π5π
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
1212
π5π??所以f(x)的单调递增区间为?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．
1212??πππππ
(2)由≤x≤得≤2x－≤，
43633π??故2sin?2x－?∈[1，3]．
3??
12
20．(2024·辽宁大连二模)已知函数f(x)＝3sinωxcosωx－cosωx＋(ω>0)，x1，
2
2
x2是函数f(x)的零点，且|x2－x1|的最小值为.
(1)求ω的值；
π?3?15π?5?π??1
(2)设α，β∈?0，?，若f?α＋?＝，f?β－?＝－，求cos(α－β)的值．
2?3?5?212?13??212
解 (1)f(x)＝3sinωxcosωx－cosωx＋
2
π2
＝
31＋cos2ωx1sin2ωx－＋ 22231
sin2ωx－cos2ωx 22
＝
π??＝sin?2ωx－?，
6??π
∵|x2－x1|的最小值为，
2
Tπ∴＝， 22
2π
即T＝π＝，∴ω＝1.
2ωπ??(2)由(1)知f(x)＝sin?2x－?， 6??π?2ππ??1?∴f?α＋?＝sin?α＋－?
3?36??2?π?3?＝sin?α＋?＝cosα＝. 2?5?
?f?β－
1
?25π??β－5π－π?
＝sin?12?66????
55
＝sin(β－π)＝－sinβ＝－，∴sinβ＝，
1313
?π?又∵α，β∈?0，?，
2??
412
∴sinα＝，cosβ＝，
513
∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 3124556
＝×＋×＝. 51351365
2024高考数学一轮复习统考第4章三角函数、解三角形第5讲简单的三角恒等变换课时作业(含解析)北师大版
