2018年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．设z?1?i?2i，则|z|? 1?i
B．
A．0
1 2
C．1
D．2
22．已知集合A?xx?x?2?0，则eRA?
??A．x?1?x?2 C．x|x??1???
B．x?1?x?2 D．x|x??1?????x|x?2?
??x|x?2?
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是 A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．记Sn为等差数列?an?的前n项和.若3S3?S2?S4，a1?2，则a5? A．?12 D．12
325．设函数f(x)?x?(a?1)x?ax.若f(x)为奇函数，则曲线y?f(x)在点(0,0)处的切
B．?10 C．10
线方程为 A．y??2x D．y?x
6．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB?
B．y??x
C．y?2x
31AB?AC 4413 D．AB?AC
44A．
B．
13AB?AC 44 C．
31AB?AC 447．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．217 D．2
B．25
C．3
8．设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为
2的直线与C交于M，N两点，3则FM?FN= A．5 D．8
B．6
C．7
?ex，x?0，g(x)?f(x)?x?a．若g（x）存在2个零点，则a的9．已知函数f(x)???lnx，x?0，取值范围是 A．[–1，0） D．[1，+∞）
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆
的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则
B．[0，+∞）
C．[–1，+∞）
A．p1=p2 C．p2=p3
B．p1=p3 D．p1=p2+p3
x2211．已知双曲线C：?y?1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条
3渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|= A．
3 2 B．3 C．23 D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所
得截面面积的最大值为 A．33 4 B．23 3 C．32 4 D．3 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?x?2y?2?0?13．若x，y满足约束条件?x?y?1?0，则z?3x?2y的最大值为_____________．
?y?0?14．记Sn为数列?an?的前n项和.若Sn?2an?1，则S6?_____________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法
共有_____________种．（用数字填写答案）
16．已知函数f?x??2sinx?sin2x，则f?x?的最小值是_____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：60分。 17．（12分）
在平面四边形ABCD中，?ADC?90，?A?45，AB?2，BD?5. （1）求cos?ADB；
（2）若DC?22，求BC. 18．（12分）
如图，四边形ABCD为正方形，以DF为折痕把△DFCE,F分别为AD,BC的中点，折起，使点C到达点P的位置，且PF?BF. （1）证明：平面PEF?平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19．（12分）
x2?y2?1的右焦点为F，过F的直线l与C交于A,B两点，点M的坐标设椭圆C:2为(2,0).
（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程； （2）设O为坐标原点，证明：?OMA??OMB. 20．（12分）
某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为
p(0?p?1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不
合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX;
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 21．（12分）
已知函数f(x)?1?x?alnx． x（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若f(x)存在两个极值点x1,x2，证明：
f?x1??f?x2??a?2．
x1?x2（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y?k|x|?2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2?cos??3?0. （1）求C2的直角坐标方程；
（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知f(x)?|x?1|?|ax?1|.
（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；
（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围.
2
2018全国卷理科数学高考真题山东等适用
