9C.11 答案 D
5D.11
?1→→?→→→→→＋λA→解析 设BP＝λBN＝λ(AN－AB)＝λ?3AC－AB?＝－λAB
3C??(0≤λ≤1)，
λ
∴A→P＝A→B＋B→P＝(1－λ)A→B＋3A→C.
2?2?22??→＋2A→又A→P＝?m＋11?A→B＋11B→C＝?m＋11?A→B＋11(A→C－A→B)＝mAB
11C， ?????λ2
?＝，∴?311??m＝1－λ，
6
λ＝??11，解得?5
??m＝11，
5
∴m＝11.故选D.
考向二 平面向量的坐标表示
例2 (1)(2024·河南洛阳统考)如图，在正方形ABCD中，M，→＝λAM→＋μBN→，N分别是BC，CD的中点，若AC则λ＋μ的值为( )
8
A.5 C．1 答案 A
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，不妨令正方形→＝(2,2)，AM→＝(2,1)，BN→＝(－1,2)．
ABCD的边长为2，则AC
→＝λAM→＋μBN→， 由AC
?2λ－μ＝2，得?
?λ＋2μ＝2，
5B.8 D．－1
6λ＝??5，解得?2
??μ＝5，
8
∴λ＋μ＝5.故选A.
(2)(2024·河北武邑模拟)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，→＝λAB→＋μAC→(λ，μ∈R)，则λ＝( ) D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设AD
μ
23A.3
3B.3
C．3 答案 A
D．23
解析 如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，3→＝(m，3m)＝λAB→＋μAC→＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)?m)(m≠0).AD
3λ23
λ＝m，μ＝2m，则μ＝3.故选A.
平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解，并注意方程思想的应用．
[即时训练] 3.已知OB是平行四边形OABC的一条对角线，O为坐标原点，→＝(2,4)，OB→＝(1,3)，若点E满足OC→＝3EC→，则点E的坐标为( ) OA
2??2
A.?－3，－3? ???11?C.?3，3? ??答案 A
→＝OB→－OA→＝(－1，－1)， 解析 易知OC
则C(－1，－1)，设E(x，y)，
→＝3(－1－x，－1－y)＝(－3－3x，－3－3y)， 则3EC
1??1
B.?－3，－3? ???22?D.?3，3? ??
?－3－3x＝－1，→→
由OC＝3EC，知?
?－3－3y＝－1，2??2
所以点E的坐标为?－3，－3?.
??
2
x＝－??3，所以?2
y＝－??3，
4．(2024·天津和平区模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB→＝λCE→＋
∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E为AD的中点，若CA→(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为( ) μDB
6A.5 C．2 答案 B
解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,0)． 不妨设AB＝1，则CD＝AD＝2， ∴C(2,0)，A(0,2)，B(1,2)，E(0，1)，
→＝(－2,2)，CE→＝(－2,1)，DB→＝(1,2)，∵CA→＝λCE→＋∴CA→， μDB
?－2λ＋μ＝－2，
∴(－2,2)＝λ(－2,1)＋μ(1,2)，∴?
λ＋2μ＝2，?628
解得λ＝5，μ＝5，则λ＋μ＝5.故选B.
考向三 平面向量共线的坐标表示 →＝(1，－3)，OB→＝(2，－1)，OC→＝(k＋1，k－2)，若A，
例3 (1)已知向量OA
B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是( )
A．k＝－2 C．k＝1 答案 C
8B.5 8D. 3
1
B．k＝2 D．k＝－1
解析 若点A，B，C不能构成三角形， →，AC→共线，
则向量AB
→＝OB→－OA→＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ∵AB
→＝OC→－OA→＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， AC
∴1×(k＋1)－2k＝0，解得k＝1.故选C.
→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，
(2)(2024·福建福州质检)设向量OA12
其中O为坐标原点，a>0，b>0，若A，B，C三点共线，则＋的最小值为( )
ab
A．4 C．8 答案 C
→＝(1，－2)，OB→＝(a，－1)，OC→＝(－b,0)，
解析 ∵OA
→＝OB→－OA→＝(a－1,1)，AC→＝OC→－OA→＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共∴AB线，
→＝λAC→，即(a－1,1)＝λ(－b－1,2)， ∴AB
?a－1＝λ?－b－1?，∴?可得2a＋b＝1， ?1＝2λ，∵a>0，b>0，
12?12?b4a
＋??∴a＋b＝ab(2a＋b)＝2＋2＋a＋b≥4＋2??
b4a
a·b＝8，
B．6 D．9
b4a1112
当且仅当a＝b，即a＝4，b＝2时取等号，故a＋b的最小值为8.故选C.
利用两向量共线解题的技巧
(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)，然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，那么利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”解题比较方便．
[即时训练] 5.已知点A(8，－1)，B(1，－3)，若点C(2m－1，m＋2)在直线AB上，则实数m＝( )
A．－12 C．－13 答案 C
→＝(－7，－2)，因为点C在直线AB上，故AC→与AB→共线．又因为AC→
解析 AB
2m－9m＋3
＝(2m－9，m＋3)，故＝，所以m＝－13.故选C.
－7－26．(2024·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中，P1(3,1)，P2(－1,3)，P1，→与向量a＝(1，－1)共线，若OP→＝λOP→＋(1－λ)·→，
P2，P3三点共线且向量OPOP3312则λ＝( )
A．－3 C．1 答案 D
→＝(x，y)，则由OP→∥a知x＋y＝0，于是OP→＝(x，－x)．若OP→
解析 设OP3333→＋(1－λ)OP→，则有(x，－x)＝λ(3,1)＋(1－λ)(－1,3)＝(4λ－1,3－2λ)，即＝λOP12?4λ－1＝x，?所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1.故选D. 3－2λ＝－x，?
课时作业
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b＝( ) A．(－3,4) C．(3，－4)
B．13 D．12
B．3 D．－1
B．(3,4) D．(－3，－4)
第5章第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
