第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
基础知识整合
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个01不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝02λ1e1＋λ2e2.
2．平面向量的坐标表示
在直角坐标系内，分别取与03x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，04(x，y)叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝05(1,0)，j＝06(0,1)，0＝ 07(0,0)． 3．平面向量的坐标运算 (1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝08(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝09(x1－x2，y1－y2)， λa＝10(λx1，λy1)． (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， →＝11(x－x，y－y)，
则AB2121→|＝12 |AB
?x2－x1?2＋?y2－y1?2.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?a＝λb(λ∈R)?13x1y2－x2y1＝0.
1．平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组． x1y1
2．当且仅当x2y2≠0时，a∥b与x＝y等价，即两个不平行于坐标轴的共线22向量的对应坐标成比例．
3．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为?x1＋x2y1＋y2??，2?. ?2?
5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G?x1＋x2＋x3y1＋y2＋y3?
?. 的坐标为?，
33??
6．A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点共线的充要条件为(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0，或(x2－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y2－y1)，或(x3－x1)(y3－y2)＝(x3－x2)(y3－y1)．
1．(2019·福州模拟)已知向量a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则2a＋b等于( ) A．(5,7) C．(3,7) 答案 D
解析 2a＋b＝2×(2,4)＋(－1,1)＝(3,9)，故选D.
2．(2019·郑州模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a，b方向相反，则实数x的值是( )
A．0 C．2 答案 D
解析 由题意可得a∥b，所以x2＝4，解得x＝－2或2，又因为a，b方向相反，所以x＝－2.故选D.
3．(2019·桂林模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) 3??1
D．e1＝(2，－3)，e2＝?2，－4?
??
B．(5,9) D．(3,9)
B．±2 D．－2
答案 B
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线．故选B.
→＝(1，－2)，则向量AC→＝( )
4．在△ABC中，已知A(2,1)，B(0,2)，BCA．(0,0) C．(－1，－1) 答案 C
→→→
解析 因为A(2,1)，B(0,2)，所以AB＝(－2,1)．又因为BC＝(1，－2)，所以AC→＋BC→＝(－2,1)＋(1，－2)＝(－1，－1)．故选C. ＝AB
→同方向的单位向量是( )
5．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB4??3
A.?5，－5? ???34?C.?－5，5? ??答案 A
→4?AB?3→→
解析 因为AB＝(3，－4)，所以与AB同方向的单位向量为＝?5，－5?.
??→|AB|6．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ等于________．
1
答案 2
1＋λ2
解析 因为a＋λb＝(1＋λ，2)，c＝(3,4)，且(a＋λb)∥c，所以3＝4，所以1λ＝2.
核心考向突破
考向一 平面向量基本定理的应用
3??4
B.?5，－5? ???43?D.?－5，5? ??B．(2,2) D．(－3，－3)
第5章第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
