第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
基础知识整合
1.平面向量的基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个01不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2使a=02λ1e1+λ2e2.
2.平面向量的坐标表示
在直角坐标系内,分别取与03x轴、y轴正方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对任一向量a,有唯一一对实数x,y,使得:a=xi+yj,04(x,y)叫做向量a的直角坐标,记作a=(x,y),显然i=05(1,0),j=06(0,1),0= 07(0,0). 3.平面向量的坐标运算 (1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则a+b=08(x1+x2,y1+y2), a-b=09(x1-x2,y1-y2), λa=10(λx1,λy1). (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), →=11(x-x,y-y),
则AB2121→|=12 |AB
?x2-x1?2+?y2-y1?2.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b?a=λb(λ∈R)?13x1y2-x2y1=0.
1.平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组. x1y1
2.当且仅当x2y2≠0时,a∥b与x=y等价,即两个不平行于坐标轴的共线22向量的对应坐标成比例.
3.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0.
4.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为?x1+x2y1+y2??,2?. ?2?
5.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G?x1+x2+x3y1+y2+y3?
?. 的坐标为?,
33??
6.A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0,或(x2-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y2-y1),或(x3-x1)(y3-y2)=(x3-x2)(y3-y1).
1.(2019·福州模拟)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a+b等于( ) A.(5,7) C.(3,7) 答案 D
解析 2a+b=2×(2,4)+(-1,1)=(3,9),故选D.
2.(2019·郑州模拟)设向量a=(x,1),b=(4,x),若a,b方向相反,则实数x的值是( )
A.0 C.2 答案 D
解析 由题意可得a∥b,所以x2=4,解得x=-2或2,又因为a,b方向相反,所以x=-2.故选D.
3.(2019·桂林模拟)下列各组向量中,可以作为基底的是( ) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) 3??1
D.e1=(2,-3),e2=?2,-4?
??
B.(5,9) D.(3,9)
B.±2 D.-2
答案 B
解析 两个不共线的非零向量构成一组基底,A中向量e1为零向量,C,D中两向量共线,B中e1≠0,e2≠0,且e1与e2不共线.故选B.
→=(1,-2),则向量AC→=( )
4.在△ABC中,已知A(2,1),B(0,2),BCA.(0,0) C.(-1,-1) 答案 C
→→→
解析 因为A(2,1),B(0,2),所以AB=(-2,1).又因为BC=(1,-2),所以AC→+BC→=(-2,1)+(1,-2)=(-1,-1).故选C. =AB
→同方向的单位向量是( )
5.已知点A(1,3),B(4,-1),则与AB4??3
A.?5,-5? ???34?C.?-5,5? ??答案 A
→4?AB?3→→
解析 因为AB=(3,-4),所以与AB同方向的单位向量为=?5,-5?.
??→|AB|6.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ等于________.
1
答案 2
1+λ2
解析 因为a+λb=(1+λ,2),c=(3,4),且(a+λb)∥c,所以3=4,所以1λ=2.
核心考向突破
考向一 平面向量基本定理的应用
3??4
B.?5,-5? ???43?D.?-5,5? ??B.(2,2) D.(-3,-3)
第5章第2讲 平面向量的基本定理及坐标表示
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