所以?3j?i?3??3，?3k?i?9??9，
12??3j?i??3k?i?12，所以j?i?1，k?i?2，????1；
n?1（3）由a1bn?a2bn?1?a3bn?2?????anb1?3?3n?3得，
a1bn?1?a2bn?a3bn?1?????anb2?an?1b1?3n?2?3(n?1)?3， a1bn?1?3(a1bn?a2bn?1?????an?1b2?anb1)?3n?2?3(n?1)?3， a1bn?1?3(3n?1?3n?3)?3n?2?3(n?1)?3，
n?2n?1所以3bn?1?3?3(n?1)?3?3(3?3n?3)，即3bn?1?6n?3，
所以bn?1?2n?1(n?N)，
1?1*又因为a1b1?3?3?1?3?3，得b1?1，所以bn?2n?1(n?N)，
*Tnn21?2n?1*2从而Tn?1?3?5?????(2n?1)?n?n(n?N)，?n(n?N*)，
2an3当n?1时
T1T11T4?；当n?2时2?；当n?3时3?； a13a29a33Tn1?， an3nn?1下面证明：对任意正整数n?3都有
n?1Tn?1Tn?1???(n?1)2??an?1an?3?2?1??1??n2??????3??3?2?1?((n?1)2?3n2)????3?n?1(?2n2?2n?1)，
当n?3时，?2n?2n?1?(1?n)?n(2?n)?0，即
Tn?1Tn??0， an?1an所以当n?3时，
TnTT1递减，所以对任意正整数n?3都有n?3?；
ana33anTn1?的正整数n的值为1和3. an3综上可得，满足等式
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）
数学Ⅱ（附加题）参考答案
21.【选做题】
A. 选修4-1：几何证明选讲
证明：（1）连接OD，BD.因为AB是圆O的直径，所以?ADB?90，AB?2OB. 因为CD是圆O的切线，所以?CDO?90， 又因为DA?DC，所以?A??C， 于是?ADB??CDO，得到AB?CO， 所以AO?BC，从而AB?2BC.
oo
（2）解：由AB?2及AB?2BC得到CB?1，CA?3.由切割线定理，
CD2?CB?CA?1?3?3，所以CD?3.
B. 选修4-2：矩阵与变换 解：（1）AB???40??12??48?； ???????01??05??05??5??1??5??1??48??5??28??a?，又因为?X???1??5??b?，所以
05????????（2）由B?1A?1X???，解得X?AB????a?28，b?5.
C. 选修4-4：坐标系与参数方程 解：在?sin(???3)??3中，令??0，得??2，
所以圆C的圆心的极坐标为(2,0).
因为圆C的半径PC?(22)2?22?2?22?2?cos?4?2，
于是圆C过极点，所以圆的极坐标方程为??4cos?. D. 选修4-5：不等式选讲 证明：因为x，y都是正数，
所以1?x?y2?33xy2?0，1?y?x2?33yx2?0，
(1?x?y2)(1?y?x2)?9xy，又因为xy?1，
所以(1?x?y)(1?y?x)?9.
22【必做题】
22.解：（1）以D为原点，DA，DC，DP为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设
AB?t，则D(0,0,0)，A(2t,0,0)，B(2t,t,0)，C(0,t,0)，P(0,0,2t)，Q(t,0,t)；
uuuruuuruuur所以CQ?(t,?t,t)，DB?(2t,t,0)，DP?(0,0,2t)，
uuurur?ur?DB?n1?0设平面PBD的法向量n1?(x,y,z)，则?uuu， rur??DP?n1?0ur?2tx?ty?0?2x?y?0即?，解得?，所以平面PBD的一个法向量n1?(1,?2,0)， ?2tz?0?z?0uruuururuuur15n1?CQ3t?cos?n1,CQ??ur， uuur?55?3tn1CQ15. 5urPQ（2）由（1）知平面PBD的一个法向量为n1?(1,?2,0)，设??(0???1)，则
PAuuuruuuruuuruuuruuurPQ??PA，DQ?DP?PQ?(0,0,2t)??(2t,0,?2t)?(2t?,0,2t(1??))，
uuuruur?uuuruur?DQ?n2?0DB?(2t,t,0)，设平面QBD的法向量n2?(x,y,z)，则?uuu，即ruur??DB?n2?0则CQ与平面PBD所成角的正弦值为?2t?x?2t(1??)z?0??x?(1??)z?0，解得，所以平面QBD的一个法向量??2tx?ty?02x?y?0??uurn2?(1??,2??2,??)，
uruur
uruur22n1?n2
由题意得1?()?cos?n1,n2??uruur?3n1n255(1??)22所以?，即(??2)(??)?0， 296??10??53因为0???1，所以??5(1??)5(1??)?(2??2)?(??)222，
2PQ2，则?. 3PA323. 解：（1）D1?0，D2?1，
D3?2， D4?9，
（2）Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)， 理由如下：
对An的元素的一个错位排列（a1，a2，…，an），若a1?k(k?1)，分以下两类： 若ak?1，这种排列是n?2个元素的错位排列，共有Dn?2个；
若ak?1，这种错位排列就是将1，2，…，k?1，k?1，…，n排列到第2到第n个位置上，1不在第k个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于n?1个元素的错位排列，共有Dn?1个；
根据k的不同的取值，由加法原理得到Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)； （3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，Dn均为自然数；
当n?3，且n为奇数时，n?1为偶数，从而Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2)为偶数， 又D1?0也是偶数，
故对任意正奇数n，有Dn均为偶数.
下面用数学归纳法证明D2n（其中n?N）为奇数. 当n?1时，D2?1为奇数；
假设当n?k时，结论成立，即D2k是奇数，则当n?k?1时，
*D2(k?1)?(2k?1)(D2k?1?D2k)，注意到D2k?1为偶数，又D2k是奇数，所以D2k?1?D2k为
奇数，又2k?1为奇数，所以D2(k?1)?(2k?1)(D2k?1?D2k)，即结论对n?k?1也成立； 根据前面所述，对任意n?N，都有D2n为奇数.
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江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研数学试题+Word版含答案
