2020高中数学 第三章 3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学案 新人教A版选修1-1

2020

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．函数的平均变化率

Δyfx2－fx1(1)定义式：＝. Δxx2－x1

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率

Δy＝Δxfx2－fx1

表示割线P1P2的斜率．

x2－x1

思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？ [提示] Δx≠0，Δy∈P.

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim

Δx→0

Δyf＝lim ΔxΔx→0

x0＋Δx－fx0. Δx(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即

f′(x0)＝lim

Δx→0

Δyf＝limΔxΔx→0

x0＋Δx－fx0. Δx[基础自测]

1．思考辨析

(1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．

( ) ( ) ( )

(3)函数f(x)＝x在x＝0处的瞬时变化率为0. [答案] (1)√ (2)× (3)×

2．已知函数f(x)＝x＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为( ) A．0.40 B．0.41 C．0.43 D．0.44 B [Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.1－4＝0.41.]

2

2

3．一物体的运动方程是s＝3＋t，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )

2

2020

【导学号：97792121】

A．0.41 B．3 C．4 D．4.1 Δs3＋2.1－3＋2

D [Δ＝＝

Δt2.1－2

2

2

＝4.1.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

求函数的平均变化率 Δy2

(1)若函数f(x)＝2x－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝( )

ΔxA．4 B．4x C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)

(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图3-1-1，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为__________．

2

图3-1-1

(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)－1－(2×1－1) ＝2(Δx)＋4Δx ∴

Δy＝2Δx＋4，故选C. Δx2

2

2

(2)由题意知，v1＝kOA，v2＝kAB，v3＝kBC. 根据图象知v1

(3)Δv＝π×2－π×1＝π.

333∴

Δv28＝π. Δr3

28

[答案] (1)C (2)v1

3[规律方法] 求函数y＝f(x)从x0到x的 平均变化率的步骤 (1)求自变量的增量Δx＝x－x0. (2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)． Δyfx0＋Δx－f(3)求平均变化率＝ΔxΔx

x0. 2020 提醒：Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0. [跟踪训练] 1．(1)函数y＝f(x)＝3x＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．

Δy2

(2)已知函数f(x)＝－x＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝

Δx________.

(1)6x0＋3Δx 12.3 (2)－Δx＋3 [(1)函数y＝f(x)＝3x＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为

2

2

fx0＋Δx－fx0

x0＋Δx－x0

＝[3

x0＋Δx2

＋2]－Δx2

3x0＋2

2

6x0·Δx＋3Δx＝

Δx＝6x0＋3Δx.

当x0＝2，Δx＝0.1时，

函数y＝3x＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)

＝－(－1＋Δx)＋(－1＋Δx)－[－(－1)＋(－1)] ＝－(Δx)＋3Δx， Δy－∴＝ΔxΔx＋3Δx

Δx2

2

2

2

2

＝－Δx＋3.]

求瞬时速度 ?29＋3t－3?

若一物体的运动方程为s＝?2

??3t＋2，t≥3

2

，0≤t<3，

(路程单位：m，时间单位：s)．求：

(1)物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内的平均速度； (2)物体在t＝1 s时的瞬时速度．

Δs[思路探究] (1)先求Δs，再根据v＝求解．

ΔtΔsΔs(2)先求，再求lim .

ΔtΔtΔx→0

[解] (1)因为Δs＝3×5＋2－(3×3＋2)＝48(m)，Δt＝2 s，所以物体在t＝3 s到t＝5 s这段时间内Δs48

的平均速度为＝＝24(m/s)．

Δt2

(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]－29－3×(1－3)＝[3(Δt)－12Δt](m)，

2

2

2

2

2

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Δs3所以＝

ΔtΔt2

Δt－12Δt＝3Δt－12(m/s)，

Δs则物体在t＝1 s时的瞬时速度为lim ＝lim (3Δt－12)＝－12(m/s)．

ΔtΔx→0

Δx→0[规律方法] 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤 (1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． Δs(2)求平均速度v＝. ΔtΔs(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度． ΔtΔy2．求(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法 Δx(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算． Δy(2)求出的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可． Δx[跟踪训练] 2．质点M按规律s＝2t＋3作直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)．求质点M在t＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.

【导学号：97792122】

[解] v＝lim

Δx→0

2

s2＋Δt－s2

Δt2

2

2×2＋Δt－2×2

＝lim ＝lim (2Δt＋8)＝8(cm/s)，

ΔtΔx→0Δx→0

v＝

s3－s1

3－12×3＋3－2×1＋3

＝

2

22

＝8(cm/s)．

求函数在某点处的导数 [探究问题] 求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．

(1)函数y＝x在x＝1处的导数为__________．

(2)如果一个质点由定点A开始运动，在时间t的位移函数为y＝f(t)＝t＋3， Δy①当t1＝4，Δt＝0.01时，求Δy和比值；

Δt②求t1＝4时的导数．

3

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[思路探究] (1)求Δy→求

ΔyΔy→求lim ΔxΔxΔx→0

→Δy Δt(2)①Δy＝f4.01－f4

ΔyΔy②求Δy→求→求lim

ΔtΔtΔt→0[解析] (1)Δy＝1＋Δx－1， Δy1＋Δx－11

＝＝， ΔxΔx1＋Δx＋1lim

Δx→0

1

＝，

1＋Δx＋12

1

1

所以y′|x＝1＝.

21

[答案]

2

(2)①Δy＝f(t1＋Δt)－f(t1)＝3t1·Δt＋3t1·(Δt)＋(Δt)，故当t1＝4，Δt＝0.01时，Δy＝0.481 201，Δy＝48.120 1. ΔtΔy222

②lim ＝lim [3t1＋3t1·Δt＋(Δt)]＝3t1＝48，

ΔtΔx→0

Δx→0故函数y＝t＋3在t1＝4处的导数是48， 即y′|t1＝4＝48. [规律方法] 求函数y＝f(x)在点x0处的导数的三个步骤 3

2

2

3

简称：一差、二比、三极限． ΔyΔy提醒：当对取极限时，一定要把变形到当Δx→0时，分母是一个非零常数的形式． ΔxΔx[跟踪训练] 1

3．求函数y＝x－在x＝1处的导数．

x