有限差分法的一个算例
——计算流体力学大作业
作者：郝柏函2010011545
指导：李嵩
1. 题目
编程计算热传导方程
?u?2u??2, t?0,x?[0,2],?=2 ?t?x?uu?0,?0
边界条件：x?0?xx?2初始条件：
ut=0=sin?x4
（1） 用FTCS格式
n?1njj?1u?sun??1?2s?un?sujj?1
?1nun?ujj?t???x2?unj?1n?2un?ujj?1?
?u?x?0是矛盾的，所以将其改
x?2分别在满足和不满足稳定性条件两种情况下计算，给出结果比较和分析。 （2）自选一种其他格式编程计算，并给出结果和分析 注：原题中给出的初始条件ut=0=sin为ut=0=sin?x2与边界条件
?x4
2. FTCS格式
2.1. 计算方法
2.1.1. 差分格式及其相容性
?1un?unj?u?2u?jnn??2，?2?un对于方程采用FTCS差分格式j?1?2uj?uj?1?，
?t?x?t?x即
其中，s??1nnun?sunjj?1??1?2s?uj?suj?1
(1.1)
??t?x2。以下讨论这一格式的相容性。
?1un?unjj
?t??u?O??t??t21?unnn2u?2u?u??O?x????j?1jj?1?x2?x2
所以
?1?un???u?unj??2u?jnnn?2?uj?1?2uj?uj?1??????2??O??t???O??x2? ???t???t?x?x???因此，该格式与原微分方程是相容的，而且对于时间精度是一阶的，对于空
间，精度是二阶的。 2.1.2. 稳定性与收敛性
对于适定的线性微分方程，格式如果差分格式，那么稳定和收敛是等价的。所以只需要讨论稳定性就可以了。
i?j??设un j?rne则(1.1)式可写为
即
rn?1e?ij???srne?ij?1????1?2s?rne?ij???srne?ij?1??
放大因子
rn?1?rn?sei???1?2s??se?i??
G?
rn?1?sei???1?2s??se?i?rn
?1?2s?2scos??1?2s?1?cos???1?4ssin2?2所以
为保证G?1,应有
1?4s?G?1
只要满足(1.2)式，差分格式就是稳定的。
s???t?x2?1 2(1.2)
2.1.3. 初始、边界条件处理以及全部计算过程
初始条件ut=0=sin?x2，差分格式为
边界条件ux?0?0,u1j=sin?j?x2 (1.3)
?u?x?0，为了保证空间的二阶精度，采用二次多项式来构造差分
x?2nn4um?1?um?2格式，结果为u?0,u?，其中m是x方向上位置的格点数。
3n1nm给出了初始、边界条件，以及之前的差分格式，就可以给出完整地算法： （1）首先用(1.3)式计算出第一个时层的温度；
n?1n?1（2）然后使用(1.1)式就算出下一时层的温度值，但是，此时u1,um还没有就算出，
然后利用边界条件求出un?11?0,un?1mn?1n?14um?1?um?2?
3（3）不断使用第（2）步，直至计算出所要求时层所对应的温度值 注：为了保证计算效率，s???t?x2不应过小。如果要求计算结果是稳定的，应满足(1.2)
式，如果要求不稳定，应不满足(1.2)式。
2.2. 计算结果与分析
本文采用matlab编程，程序见于第4小节。
在不稳定的差分格式下，计算结果是不可采信的，如图 1所示。
图 1 不稳定格式计算得到温度分布，s=1.04,其中，时间采用2400步，空间采用100步
采用不稳定格式虽然也能得到比较光滑的温度分布图，但是，根据本算例的物理意义，左端为恒定温度0，右端为绝热壁面，所以计算结果应该是，温度始终大于0，别且距左端越近，温度越低。可见，非稳定格式的计算结果是定性错误的。
而稳定格式的计算结果是可以采信的。如图 2，图 3，图 4所示。
图 2 稳定格式计算得到温度分布，s=0.05,其中，时间采用50,000步，空间采用100步
图 3 稳定格式计算得到温度分布，s=0.005,其中，时间采用500,000步，空间采用100步
计算流体力学算例
