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专题五 二次函数的动点问题
1如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2 与x轴
交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由
分析 (1)由点B(-2,m)在直线y??2x?1上,可求得m的值及 点B的坐标,进而求得抛物线的解析式;
(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE, 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，过点E 作EH∥x轴，交y轴于H，由△DFB≌△DHE,证得D是BE的中点；
(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,
动点P又在抛物线上,通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组,其解即为所求点的坐标.
解（1）∵ 点B(-2,m) 在直线y??2x?1上， ∴ m=-2×(-2)-1=3. ∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴ 点A的坐标为(4,0) . 设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4). 将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴ a?∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为y?
1. 411x(x?4)，即y?x2?x. 44（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1) E(2,-5). 过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，则点G坐标为(2,3)
BG⊥直线x=2，BG=4.在Rt△BGC中，BC=CG2?BG2?32?42?5.
∵ CE=5，∴ CB=CE=5.
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5). 又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)， 1
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∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴ △DFB≌△DHE （SAS），∴ BD=DE. 即D是BE的中点. (3)由于PB=PE，∴ 点P必在线段BE的中垂线CD上， 又点P在抛物线y?12x?x上, 4∴ 符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点. 设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b. 将点D(0,-1) C(2,0) 代入，
1?b??1得?. 解得 k?1,b??1. ∴ 直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
22?2k?b?01x1?3?5x2?3?5x?12解方程组 得 1?5 1?5 12y1?y2?y?x?x224y?∴ 符合条件的点P的坐标为(3?5，
2.已知：如图14，抛物线y??点C，直线y??1?51?5)或(3?5，). 22323x?3与x轴交于点A，点B，与直线y??x?b相交于点B，443x?b与y轴交于点E． 4（1）写出直线BC的解析式． （2）求△ABC的面积．
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动（不与A，B重合），同时，点
N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动．设运动时间为t秒，请写出△MNB的
面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
3.如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC边上的一个动点（不
与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．． 2
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（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG． （2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
4如图，抛物线y?x?2x?3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得x1??1或x2?3（1分） ∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入y?x?2x?3得y=-3，∴C（2，-3）（1分） ∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分） 则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分） E（(x,x?2x?3)（1分）
∵P点在E点的上方，PE=(?x?1)?(x?2x?3)??x?x?2（2分） ∴当x?2222219时，PE的最大值=（1分） 24（3）存在4个这样的点F，分别是F,0),F2(?3,0),F3(4?7),F4(4?7) 1(1（结论“存在”给1分，4个做对1个给1分，过程酌情给分） 5如图13，已知抛物线y??224x?x?2的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线33的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q． （1）求点B和点C的坐标； 3
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（2）设当点M运动了x（秒）时，四边形OBPC的面积为S，求S与x的函数关系式，并指出自变量
yPx的取值范围．
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ 成为以为一腰的等腰三角形？若存在， ．BQ．．．．．求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
解： （1）把x =0代入y??AODMCQBx图13 224x?x?2得点C的坐标为C（0，2） 33224把y =0代入y??x?x?2得点B的坐标为B（3，0） 33（2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y） S四边形OBPC=?x?3x?3
2=S△OPC+S△OPB=
3?2411??2?x??3?y = x???x2?x?2?
2?3322?3?3?∵ 点M运动到B点上停止，∴0≤x≤3∴S???x???（0≤x≤3）
2?4?（3）存在． BC=OB2?OC2=13 ① 若BQ = DQ∵ BQ = DQ，BD = 2
∴ BM = 1 ∴OM = 3?1 = 2 ∴tan?OBC? ∴QM =
2QMOC2?? BMOB32 3所以Q的坐标为Q （2，
2） ． 3BQQMBM② 若BQ=BD=2∵ △BQM∽△BCO，∴ ==
BCCOBO∴ 4132QM2BQBMBM= ∴ QM = ∵ = ∴ =
132BCOB31313613613613413 ∴ OM = 3? 所以Q的坐标为Q （3?，） 13131313∴ BM =
4
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6． 如图12， 四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）． 点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连结AC交NP于Q，连结MQ．
（1）点 （填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．
解：（1）点 M （2）经过t秒时，NB?t，OM?2t
OMQCyNBPAx则CN?3?t，AM?4?2t∵?BCA=?MAQ=45 ∴QN? CN ?3?t ∴PQ ?1? t ∴S△AMQ?2图12
11AMPQ?(4?2t)(1?t) 221?1?9??t2?t?2 ∴S??t2?t?2???t??? ∵0≤t≤2∴当t?时，S的值最大．
2?2?4（3）存在． 设经过t秒时，NB=t，OM=2t 则CN?3?t，AM?4?2t ∴?BCA=?MAQ=45 ①若?AQM?90，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高 ∴PQ是底边MA的中线 ∴PQ?AP?∴t?11MA∴1?t?(4?2t) 221∴点M的坐标为（1，0） 2②若?QMA?90，此时QM与QP重合∴QM?QP?MA∴1?t?4?2t∴t?1 ∴点M的坐标为（2，0）
7.如图所示，在直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向作匀速运动．同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A－B－5
山西省洪洞县2017届中考数学一轮复习专题五二次函数的动点问题试题
