第十五章 光的衍射
§15-6 光的衍射现象 惠更斯费涅耳原理
前面我们讨论了光的干涉，干涉是波动的特征之一，在此，我们来讨论光另外的特征，即衍射现象（绕射现象）。 一、光的衍射现象 1、衍射定义
当波传播过程中遇到障碍物时，波就不是沿直线传播，它可以到达沿直线传播所不能达到的区域。这种现象称为波的衍射现象（或绕射现象）（原因是波阵面受到了限制而产生的）。 2、光的衍射现象
在日常生活中水波和声波的衍射现象是较容易看到，但光的衍射现象却不易看到，这是因为光波的波长较短，它比衍射物线度小得多之故。如果障碍物尺度与光的波长可以比较时，就会看到衍射现象。
如下图，S为线光源，k为可调节宽度的狭缝，E为屏幕（均垂直纸面），高缝宽比光的波长大得多时，E上出现一光带（可认为光沿直线传播），若缝宽缩小到可以与光的波长比较时（10?4m数量级以下），在E上出现光幕虽然亮度降低，但范围却增大，形成明暗相间条纹。其范围超过了光沿直线所能达到的区域，即形成了衍射。
SZKSZKab
图 15-1
波的衍射现象在我们学习惠更斯原理时就已经接触到了，由于波动的特性，因而水波穿过小桥同时要向两旁散开，人站在大树背后时照样能听到树前传来的声音，光线在一定的条件下（衍射物的线度与波长可以比较）就会拐弯，等。此外，在我们学习双缝干涉时，也包含了衍射的因素，若不是光线能拐弯，经过双缝的光线怎样能相遇呢？ 衍射是一切波动所具有的共性，衍射是光具有波动性的一种表现。 二、惠更斯——费涅耳原理 1、原理表述
惠更斯指出：波在介质中传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一 时刻这些小波的包迹就是该时刻的波阵面。此原理能定性地说明光波传播方向的改变（即衍射）现象，但是，不能解释光的衍射中明暗相间条纹的产生。原因是这一原理没有讲到波相遇时能产生干涉问题，因此费涅耳对惠更斯远离做了补充，如下： 费涅耳假设：从同一波阵面上各点发出的子波同时传播到空间某一点时，各子波间也可以相互迭加而产生干涉。
经过发展的惠更斯原理成为惠更斯费涅耳原理。根据这一原理，如果已知光波在某一时刻的波阵面，就可以计算下一时刻光波传到的点的振动。 2、原理的定量表达式
如图所示，S为某时刻光波波阵面，ds为S面上的 一个面元，n 是ds的法向矢量，P为S面前的一点，从
ds发射的子波在P点引起振动的振幅与面积元ds成正比，
?n?dss??rp与ds到P点的距离r成反比（因为子波为球面波），还与
r同ds间夹角?有关，至于子波在P点引起的振动位相仅
波振面取决于r，ds在P处引起的振动可表示为
图 15-2k(?)ds2?rdy?cos(?t?)
r?式中?为光波角频率，?为波长，k(?)是?的一个函数。应该指出，? 越大，在P点引起的振幅就越小，费涅耳认为??为什么不能向后传播的问题。
整个波阵面S在P产生的合振动为何，由惠更斯——费涅耳原理有：
k(?)ds2?ry??dy??cos(?t?) （15-1）
r?s上式是惠更斯——费涅耳原理的定量表达式。在一般情况下，此式积分是比较复杂的，在某些特殊情况下积分比较简单，并可以有矢量加法代替积分。下节介绍应用费涅耳半波带方法来解释单缝衍射现象，这种方法更为简单。
?2时，dy?0，因而强度为零。这也就解释了子波
三、两类衍射问题 1、费涅耳衍射
光源S，屏E与衍射物距离均为有限 （或一个距离为无限远）的衍射，如图所 示。
2、夫琅和费衍射：
光源S，屏E与衍射物均无限远时的衍射。
SKEP图 15-3因为光源和光屏相对衍射物是在无穷远处，因而入射光和衍射光都是平行光，所以夫琅和费衍射也称为平行光衍射，如图所示。
入射光衍射光KPL1KL2E图 15-4图 15-5实际上，夫琅和费衍射经常利用两个会聚透镜来实现（如在实验中产生的夫琅和费衍射）。如下图所示，S处于L1焦平面上，形成衍射。
在衍射实验中通常使用平行光，所以夫琅和费衍射是较为重要的，而且在数学上也较易处理，下面只讨论夫琅和费衍射。
§15-2 单缝衍射（单缝的夫琅和费衍射）
一、衍射装置
下图为单缝的夫琅和费衍射装置。
SL1KL2图 15-6
S为点光源，E上是一些光斑，其 线垂直单缝。 S为线光源，E上是平行于狭缝的明暗相间的条纹。
二、用费涅耳半波带法确定明、暗条纹及位置
如图所示，一束平行光垂直入射到K上。对于沿入射波方向（??0）情况先考虑一下。在单缝AB处，这些子波同位相，经L后会聚O处。因为L不引起光程差，所以在O处这些子波仍同位相，故干涉加强，即出现亮纹（此条纹称为中央亮纹）。
其它方向（??0）情况变复杂些。下面考虑与入射方向成?角的子波线（经L后为光线②）。?称为衍射角。光线②会聚在P点，?角不同，P的位置就不同，在E上可出现衍射图样。为了研究明暗条纹位置，下面考虑位相差问题。做平面AC垂直BC，从图知，由AC上各点达到P点的光线光程都相等，这样从AB发出的光线在P点的位相差就等于它们在AC面上的位相差。
由图可见，从K的AB两端点来看，B点发出的子波比A点发出的子波多走AC?sin?的光程（空气中）。这显然是沿?方向上光波射线的最大光程差。下面用费涅耳半波带法确定P处是明还是暗。分几种情况讨论。 1、BC?asin??2?BAKLP(2)?C?(1)o中央亮纹E图 15-7?2
即BC恰等于两个半波长，如下图所示，将BC为二等份，过等分点做平行于AC的平面，将单缝上波阵面分为面积相等的两部分AA1，A1B，每一部分叫做一个半波带，每一个波带上各点发出的子波在P点产生的振动 可认为近似相等。二波带上的对应点
?（如AA1的中点与A1B的中点）所发出的子波光线达到AC面上时光程差为，即位相差
2为?，可知在P点它们的位相差为?。所以，产生干涉相消。结果由AA1及A1B两个半波带上发出的光在P点完全抵消，所以，出现暗纹（沿光源，以下同）。
EKAA1A2B3个半波带AA1EP半波带AA1AA1?P???o?fBBA2??B2o图 15-8图 15-92、BC?asin??3??2
即AC恰为三个半波长。如图所示，将BC分成三等份，过等分点做平行于AC面的平面，这两个平面将单缝AB上的波阵面分成三个半波带AA1，A1A2，A2B。依照以上解释，相邻二波带发出的光在P点互相干涉抵消，剩下一个波带发出的光束被抵消，所以P处出现明纹。 3、BC?asin??n??2(n?2,3,?)
在此情形下，将AB分成n个半波带，如果n=偶数，则所有波带发出的光在P点成对地（相邻的波带）互相干涉抵消，因而P点为暗纹。如果n为奇数，则n个波带中有（n-1）个（偶数）个波带发出的光在P点成对地干涉相消，剩下的一个波带发出的光未被抵消，所以P出现明纹。综上可知，可得如下结论：
??0???明纹条件：? （15-2）
asin???(2k?1)(k?1,2,?)?2?暗纹条件：asin???k?(k?1,2,?)。 （15-3） 。 ??0 称为中央亮纹，k=1,2,…分别称为第一，二，…级明纹（或暗纹）三、几点讨论
（1）单缝衍射条纹是关于中央亮纹对称分布的。 （2）中央亮纹宽度及半角宽度
半角宽度：?1?arcsin(?1很小)；
aa中央亮纹宽度（二个第一级暗纹间距离）：
2?fl0?2x1?2f?tg?1?af?1?；
a?KLPExo???f图 15-10
大学物理授课教案第十五章光衍射Word版
