高中不等式习题精选精解
一、求取值范围
1、已知?1?x?y?1,1?x?y?3，求3x?y的取值范围。 解： 3x?y?1*(x?y)?2*(x?y)
根据已知条件：?1?1*2?3x?y?1?2*3,1?3x?y?7 所以3x?y的取值范围是?1,7?
2、已知a?b?c，且a?b?c?0，求c/a的取值范围。 解：由已知条件，显然a?0,c?0
?b?c,?a?2c?a?b?c?0,?a?0,?c/a??1/2 ?a?b,?2a?c?a?b?c?0,c??2a,?a?0,?c/a??2
综上所述c/a的取值范围是??2,?1/2?
3、正数x,y满足x?2y?1，求1/x?1/y的最小值。
解：1/x?1/y?1*(1/x?1/y)?(x?2y)(1/x?1/y)?1?x/y?2y/x?2 ?3?2(x/y)(2y/x)?3?22（?x,y为正数）
4、设实数x,y满足x?(y?1)?1，当x?y?c?0时，求c的取值范围。
解：方程x?(y?1)?1表示的是以点（0，1）为圆心的圆，根据题意当直线x?y?c?0（c为常数）与圆在第二象限相切时，c取到最小值；（此时，切点的坐标(x,y)满足，当c增大，直线向x?y?c?0，其它圆上的点都满足x?y?c?0（因为在直线的上方）下方平移，圆上的全部点满足x?y?c?0， 因此：0?(1?2)?cmin?0,cmin?2?1
2222y 所以c的取值范围是
?2?1,??
?x
1
5、已知函数f(x)?ax2?bx(a?0)满足1?f(?1)?2，2?f(1)?5，求f(?3)的取值范围。
解：由习已知得：1?a?b?2,2?a?b?5
?m?n?9?m?3 设：f(?3)?9a?3b?m(a?b)?n(a?b)?? ??m?n??3n?6?? ?f(?3)?6*f(?1)?3*f(1),?12?f(?3)?27
所以f(?3)的取值范围是?12,27?
6、已知：a、b都是正数，且a?b?1，??a?21a，??b?1b，求???的最小值
11?a?b?解：?a,b是正数，?ab???4 ??,?24ab???????a?1a?b?1b?(a?b)?(1a?1b)?1?a?bab?1?1ab?5
（当且仅当a?b?1/2时）。 ????的最小值是5，
7、已知集合A??x|x2?5x?4?0?与B??x|x2?2ax?a?2?0?，若B?A，求a的取值范围。
解：x?5x?4?(x?4)(x?1)?0,1?x?4,?A??x|1?x?4?
2y X1 设y?x?2ax?a?2?（*）
当B??，即方程（*）无解，显然B?A成立，由??0得 4a?4(a?2)?0，解得?1?a?2?(1)
22 x2 x o 1 4 当B??，且B?A成立，即：?x|x1?x?x2???x|1?x?4? 根据图像得出： ?2?1?2a*1?a?2?0?18 ?42?2a*4?a?2?0，解得1?a??(2)
7??2a?1??4?2? 综合（1）（2）两式，得a的取值范围为??1,18/7?。
2
8、若关于x的方程4x?a?2x?a?1?0有实数解，求实数a的取值范围。
解一：设t?2x，?2x?0,?t?0，原题转换为求方程t2?at?a?1?0在?0,???上有解。 共有两种情况，一种是有两个根，一种是只
有一个根（如图所示），由二次函数的图像和
性质，得方程t2?at?a?1?0在?0,???上 有实数解的充要条件为：
o y y x o x ???a2?4(a?1)?0????a2?4(a?1)?0?a或? 注：两组不等式分别对应两个图 ???02?f(0)?a?1?0??f(0)?a?1?0?解得?1?a?2?22或a??1,即a?2?22 所以a的取值范围是??,2?22
1?t2??解二：由方程t?at?a?1?0得a??21?t(t?0)
函数f(t)??1?t21?t21?t2(t?0)的值域就是a的取值范围。
a??1?t??(t?1)?21?t2?2??????(t?1)???(t?1)??2??t?1?t?1????
??(22?2)?2?22所以a的取值范围是??,2?22
??二、解不等式
1、(x?2)x2?2x?3?0 解：不等式f(x)?g(x)?0与??f(x)?0?g(x)?0或g(x)?0同解，也可以这样理解：
符号“?”是由符号“>”“=”合成的，故不等式f(x)?g(x)?0可转化为
f(x)?g(x)?0 或f(x)?g(x)?0。
解得：原不等式的解集为?x|x?3或x??1?
3
2、
x?3x?2x?2x?3222?0.
22??(x?3x?2)(x?2x?3)?0解：2? ?0??2x?2x?3??x?2x?3?0x?3x?2?(x?1)(x?2)(x?3)(x?1)?0，用根轴法（零点分段法）画图如下： ?(x?3)(x?1)?0? + -1 - 1 + 2 - 3 + ?原不等式的解集为?x|?1?x?1或2?x?3?。
3、
x?1?ax?1,(a?0)
2解：原式等价于 ?2x?1?1?ax
2x?1?1,?1?ax?1，即ax?0 注：此为关键
?x2?1?(1?ax)2解得： ?a?0,?x?0?原不等式等价于不等式组??x?0??当0?a?1时，原不等式解集为??当a?1时，原不等式解集为?x|?2a??x|0?x??2?1?a? ?x?0?
4、(x?2)(ax?2)?0
解：当a?0时，原不等式化为x?2?0，得x?2；
22 当a?0时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，得?x?2；
aa22 当0?a?1时，原不等式化为(x?2)(x?)?0，得x?2或x?；
aa 当a?1时，原不等式化为(x?2)?0，得x?2； 当a?1时，原不等式化为(x?2)(x?2a)?0，得x?2a或x?2
2 4
??? 综合上面各式，得原不等式的解集为：??
???
5、关于x的不等式ax?b?0的解集为?1,???，求解：由题意得：a?0，且a?b 则不等式
ax?b?(ax?b)(x?2)?0同解 ?0与不等式组?x?2?x?2?0ax?bx?2?0的解集。
得所求解集为?x|x??1或x?2?
6、已知a?0且a?1，关于x的不等式ax?1的解集是?xx?0?，解关于x的不等式
loga(x?1x)?0的解集。
解：?关于x的不等式ax?1的解集是?xx?0?，?a?1，
?x?1?01?51?5xloga(x?)?0??1??1?x?1?x?或
x??1x22?x1? 原不等式的解集是(?1,1?
三、证明题
52)?(1,1?25)。
2222221、已知a?b?c，求证：ab?bc?ca?ab?bc?ca
证一：ab?bc?ca?ab2222?bc2?ca2?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?a)
?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(c?b?b?a)?ab(a?b)?bc(b?c)?ca(b?c)?ca(a?b) ?a(a?b)(b?c)?c(b?c)(b?a)?(a?b)(b?c)(a?c)?0,(?a?b?c) ?a2b?b2c?c2a?ab证二：ab?bc?ca?ab2222222?bc222?ca，证毕。
?bc?ca2?a(b?c)?b(c?a)?c(a?b)
22222 ?a(b?c)?b(c?b?b?a)?c(a?b)?(b?c)(a?b)?(a?b)(c?b)
222 ?(b?c)(a?b)(a?b)?(a?b)(b?c)(b?c)?(a?b)(b?c)(a?c)?0
5
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