初中数学《一元二次方程》全章讲义

初中数学《一元二次方程》全章讲义

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内容简介：1. 了解一元二次方程的定义及一元二次方程的一般形式：ax?bx?c?0(a?0). 2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活运用.3. 掌握一元二次方程根的判别式，并能运用它解相应问题.4. 掌握一元二次方程根与系数的关系，会用它们解决有关问题.5. 会解一元二次方程应用题.

2知识点一：一元二次方程的定义及一般形式

【知识要点】

一元二次方程的一般形式：ax?bx?c?0(a?0) 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 3?x?1??2?x?1? B

2211??2?0 2xx22 C ax?bx?c?0

2

2D x?2x?x?1

2变式：当k 时，关于x的方程kx?2x?x?3是一元二次方程。 例2、方程?m?2?x针对练习：

1、方程8x?7的一次项系数是 ，常数项是 。

222、若方程?m?1?x?m?3mx?1?0是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

m?x?1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

知识点二：一元二次方程的解

【知识要点】

1、 当已知一元二次方程的一个根时，要熟练地将这个根代入原方程，并灵活运用得到的等式。 2、 在ax?bx?c?0(a?0)中，x取特殊值时，a、b、c之间满足的关系式。 例1、已知2y?y?3的值为2，则4y?2y?1的值为 。

222例2、关于x的一元二次方程?a?2?x?x?a?4?0的一个根为0，则a的值为 。

22例3、一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的系数满足a?c?b，则此方程必有一根为 。

2例4、已知a,b是方程x?4x?m?0的两个根，b,c是方程x?8x?5m?0的两个根，则m的

22值为 。

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针对练习：

1、已知方程x?kx?10?0的一根是2，则k为 ，另一根是 。

22、已知m是方程x?x?1?0的一个根，则代数式m?m? 。

223、已知a是x?3x?1?0的根，则2a?6a? 。

224、方程?a?b?x??b?c?x?c?a?0的一个根为（ ）

2

A ?1 B 1 C b?c D ?a

xy5、若2x?5y?3?0,则4?32? 。

知识点三：一元二次方程的解法

【知识要点】

一元二次方程的常用解法有（1）直接开平方法，（2）配方法，（3）求根公式法，（4）因式分解法。

通常可以这样选择合适的解法：

（1）当方程一边为含有未知数的完全平方式，另一边为非负数时，可用直接开平方法。 （2）当方程的一边为0，而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时，运用因式分解法求解。

（3）当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式，另一边为非负数时，常用配方法。 （4）当不便用上面三种方法时，就用求根公式法。

2例1、解方程：?1?2x?8?0; ?2??1?x??9?0;

2

例2、若9?x?1??16?x?2?，则x的值为 。

22例3、2x?x?3??5?x?3?的根为（ ）

A x?552 B x?3 C x1?,x2?3 D x? 2522例4、若?4x?y??3?4x?y??4?0，则4x+y的值为 。 变式1：a2?b2????a22?b2?6?0,则a2?b2? 。

?变式2：若?x?y??2?x?y??3?0，则x+y的值为 。

变式3：若x?xy?y?14，y?xy?x?28，则x+y的值为 。

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例5、方程x2?x?6?0的解为（ ）

A.x1??3，x针对练习：

1、若实数x、y满足?x?y?3??x?y??2?0，则x+y的值为（ ）

A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

2?2 B.x1?3，x2??2 C.x1?3，x2??3 D.x1?2，x2??2

1?2的解是 。 2x14x23．解方程：?2??1

x?2x?42?x2、方程：x?2

知识点四：配方法运用

【知识要点】

用配方法解一元二次方程的一般步骤： 例：用配方法解4x?6x?1?0 第一步，将二次项系数化为1：x2?第二步，移项： x2?231（两边同除以4） x??0，

2431x?? 243313x?()2???()2 2444第三步，两边同加一次项系数的一半的平方：x2?第四步，完全平方：(x?)?3425 16第五步，直接开平方：x?2355353???,x2??? ，即:x1??4444442例1、试用配方法说明x?2x?3的值恒大于0，?10x?7x?4的值恒小于0。

例2、已知x、y为实数，求代数式x?y?2x?4y?7的最小值。

22

y例3、已知x?y?4x?6y?13?0，x、y为实数，求x的值。

22

变式：已知x?

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2111，则?x??4?0x?? .

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知识点五：降次思想的应用

【知识要点】

利用因式分解或整式的变形，巧妙地在运算中进行变形，从而达到降次的目的。 例1、已知x

例2、如果x?x?1?0，那么代数式x?2x?7的值。

23223?x?1??x2?1?3x?2?0，求代数式的值。

x?1

a3?2a2?5a?1例3、已知a是一元二次方程x?3x?1?0的一根，求的值。 2a?12

知识点六：根的判别式理解与应用

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【知识要点】

(1)一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)根的情况：

①当??0时，方程有两个不相等的实数根； ②当??0时，方程有两个相等的实数根； ③当??0时，方程无实数根. (2)判定一元二次方程根的情况； (3)确定字母的值或取值范围。

例1、若关于x的方程x?2kx?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

22例2、关于x的方程?m?1?x?2mx?m?0有实数根，则m的取值范围是( )

2A.m?0且m?1 B.m?0 C.m?1 D.m?1 例3、已知关于x的方程x??k?2?x?2k?0

2(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根；

(2)若等腰?ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求?ABC的周长。 例4、已知二次三项式9x?(m?6)x?m?2是一个完全平方式，试求m的值.

2针对练习：

1、当k 时，关于x的二次三项式x?kx?9是完全平方式。

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2、当k取何值时，二次三项式3x?4x?2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

23、已知方程mx?mx?2?0有两个不相等的实数根，则m的值是 .

24、若关于x的一元二次方程x?2x?1?0有实数根，则m的取值范围是( ) A.m?1 B. m?1且m?0 C.m≤1 D. m≤1且m?0 5、 一元二次方程x2?2x?1?0的根的情况为（ ）

A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D. 没有实数根

6、已知关于x的一元二次方程x2?4x?m?1?0.请你为m选取一个合适的整数，当

2m?____________时，得到的方程有两个不相等的实数根；

7、若关于x的方程x2?(2k?1)x?k2?7?0有两个相等的实数根，求k的取值范围。 4 8、已知关于x的方程(m?2)x2?2(m?1)x?m?1?0，当m为何非负整数时：

(1)方程只有一个实数根； (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程有两个不等的实数根.

9、已知a,b,c是三角形的三条边，求证：关于x的方程bx?(b?c?a)x?c?0没有实数根.

10、已知关于x的一元二次方程x2?m?2x有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A.

222222m??1 B.

m??2 C.

m≥0 D.m?0

211、一元二次方程(1?k)x?2x?1?0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________. 12、求证：关于x的方程x?(2k?1)x?k?1?0有两个不相等的实数根。

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