关于运算方法的探讨
即是任何一个实数m开任何一个整数n次方方法的探讨。 m可以是整数，也可以是整数带小数，也可以是纯小数。m为负数时n只能是奇数。
先从二项式（a+b）n说起，n为自然数0，1，2，3，4，5.......直到任意数。
当n=0，（a+b）?=1 n=1，（a+b）1=a+b n=2，（a+b）2=a2+2ab+b2 n=3，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3 n=4，（a+b）?=a?+4a3b+6a2b2+4ab3+b? n=5，（a+b）5=a?+5a?b+10a3b2+10a2b3+5ab?+b? （a+b）n展开式为：
an+......+bn共有n+1项，a的幂从第一项n次，以后每项递减一次，直到最后一项为0，b的幂以第一项为0次，以后每项递增一次,直到最后一项为n次。每项系数就构成了杨辉三角形。
1 n=0 1 1 n=1 1 2 1 n=2 1 3 3 1 n=3 1 4 6 4 1 n=4 1 5 10 10 5 1 n=5 ......
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为什么要讨论这些内容？是因为开方中有初商和试商。进行开方时初商容易确定，要确定试商就比较难了。越往后开试商就越难确定。于是想到了二项式定理中（a十b）n，将其中的a当作初商，b当作试商，再利用展开式中各项系数与初商和试商间的关系能否较易确定试商？另外还有一个非常重要的是展开式中将a当作初商，a的幂是n，n-1，n-2......0，b的幂是由0，1，2，3......n因a为主第一项an它的权重最高为10 n，第二项权重为10 n-1......最后一项权重为100，这就是所谓的位高权重。所以可对应为： （a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
105 104 103 102 101 100
a为初商处在开方结果的最高位，可以是1，2，3......n位数，b为试商只能为一位数。下面以今年今月之数202012开5次方作实例运算，过程如下：
52'02012=11. 5......余876.28125
1，从右至左每5位数为一组,分后第二组只有一位数2。 2，确定初商，它的5次方后应小于2，显然初商只能为1。 3，将1写在2下，再用上面之数减去1，余数为102012。 4，怎么确定试商？
因（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
第一项a5中无b与试商无关，只考虑后5项了，即后5项之和
不能大于余数102012，考虑到权重关系，后5项分别为：
5×104×1×b=5×104b
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10×103×1×b2=104b2 10×102×1×b3=103b3 5×10×1×b4=50b4 b5=？
令b=2，第一项为105，已非常接近余数102012，后面还有4个数之和，那肯定超过余数了。所以b只能取1,即试商为1。
5，将b=1代入上5式得5式之和： 5×104+104+103+50+1=61051
将102012-61051=40961为余数。这就得到了初商和第一位试商为11，这个数就是下一步的初商了。
6，再确定小数点后的试商了。这一步11就是初商了。再把上面的余数40961后面添5个0即4096100000，再重复第4步确定第二位试商。
5×104×114b=73205×104b 10×103×113×b2=1331×104b2 10×102×112×b3=121×103b3 5×10×11×b4=55×10b4 b5=？
经过试算b只能小于6，因7x6=42已经大于40了，所以取b=5，这样得：
73205×5×104=3660250000 1331×25×104=332750000 121×125×103=15125000
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55×625×10=343750 55=3125
以上5个数相加得：4008471875
40961.00000-40084.71875=876.28125......余数。 逆运算：
（11.5）5=201135.71875+876.28125 =202012，即被开方数无误差。
上面只开到小数后面一位，再往下初商就是11.5，再用第4步确定下一位试商。开的位数越多，精确度越高，直到余数趋近于零时，结果就逼近真值了。
下面再给出带小数的实例：
330.5326=3.12...余0.161272
（3.12）3=30.371328+0.161272=30.5326 无误差
50.784129=0.95......余0.0103480625
（0.95）5=0.7737809375+0.0103480625
=0.784129 无误差
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