2.2.1 向量加法运算及其几何意义
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．a、b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( ) A．a∥b，且a与b方向相同 B．a、b是方向相反的向量 C．a＝－b
D．a、b无论什么关系均可
解析：只有a∥b，且a与b方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成立，故A项正确．答案：A
2．下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.→BC＋→AB B.→PM＋→MN＋→MP C.→BC＋→CA＋→AB＋→CD
D．→MP＋→GM＋→PQ＋→QG
解析：A项，→BC＋→AB＝→AB＋→BC＝→
AC； B项，→PM＋→MN＋→MP＝→PM＋→MP＋→MN＝→MN； C项，→BC＋→CA＋→AB＋→CD
＝(→AB＋→BC＋→CA)＋→CD＝0＋→CD＝→CD；
D项，→MP＋→GM＋→PQ＋→QG＝(→GM＋→MP)＋(→PQ＋→QG) ＝→GP＋→
PG＝0. 答案：D
3．已知菱形的两邻边→OA＝a，→OB＝b，其对角线交点为D，则→
OD等于( ) A.1
2a＋b B.1
2b＋a C.1
2
(a＋b) D．a＋b 解析：作出图形，→OA＋→OB＝→OC＝a＋b，∴→OD＝1
2(a＋b)．
答案：C
4．已知P为△ABC所在平面内一点，当→PA＋→PB＝→
PC成立时，点P位于( ) A．△ABC的AB边上 B．△ABC的BC边上 C．△ABC的内部
D．△ABC的外部
1
→→→
解析：如图，PA＋PB＝PC，则P在△ABC的外部．
答案：D
→→→
5．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，那么( ) →→A.AO＝OD →→C．AO＝3OD
→→B.AO＝2OD →→D．2AO＝OD
→→→→→→→解析：OB＋OC＝2OD，∴2OA＋2OD＝0.∴AO＝OD. 答案：A
→→→→→
6．矩形ABCD中，|AB|＝3，|BC|＝1，则向量AB＋AD＋AC的长度等于________． →→→
解析：因为ABCD为矩形，所以AB＋AD＝AC， →→→→→→→所以AB＋AD＋AC＝AC＋AC，如图，过点C作CE＝AC， →→→则AC＋AC＝AE， →→→→所以|AB＋AD＋AC|＝|AE| →
＝2|AC|＝2答案：4
→→→→
7．在平行四边形ABCD中，若|BC＋BA|＝|BC＋AB|，则四边形ABCD是________． →→→
解析：由图知|BC＋BA|＝|BD|. →→→→→
又|BC＋AB|＝|AD＋AB|＝|AC|， →→∴|BD|＝|AC|. ∴四边形ABCD为矩形． 答案：矩形
8．已知|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|的取值范围是________．
解析：|a|－|b|＝3－2＝1，|a|＋|b|＝3＋2＝5，又|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，则有1≤|a＋b|≤5. 答案：[1,5]
9．如图所示，P，Q是三角形ABC的边BC上两点， 且BP＝QC.
→2→2
|AB|＋|BC|＝4.
2
→→→→求证：AB＋AC＝AP＋AQ.
→→→→→→证明：AB＝AP＋PB，AC＝AQ＋QC， →→→→→→所以AB＋AC＝AP＋PB＋AQ＋QC. →→
因为PB与QC大小相等，方向相反，
→→→→→→→→所以PB＋QC＝0，故AB＋AC＝AP＋AQ＋0＝AP＋AQ.
10．在搜救某失联客机中，我国海上救援中心派出一架救援直升机对南太平洋海域气象条件进行实地侦察，该飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升机与A地的相对位置．
→→→
解析：如图所示，设AB，BC分别是直升机的两次位移，则AC表示两次位移的→→→
合位移，即AC＝AB＋BC.
→→
在Rt△ABD中，|DB|＝20 km，|AD|＝203 km. →
在Rt△ACD中，|AC|＝
→2→2
|AD|＋|DC|＝403 km，∠CAD＝60°，即此时直
升机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403 km处．
[B组 能力提升]
→→→→
1．已知|OA|＝2，|OB|＝3，∠AOB＝60°，则|OA＋OB|＝( ) A.3 C．23
→→→→
解析：在平面内任取一点O，作向量OA，OB，以OA，OB为邻边作?OACB，→→→→
则OC＝OA＋OB，由图可知|OC|＝ 2×3×sin 60°＝33. 答案：D
→→→
2．已知|AB|＝10，|BC|＝7，则|AC|的取值范围是( ) A．[3,17] C．[3,10]
→→→
解析：∵AC＝AB＋BC，
→→→→→→→
∴|AC|＝|AB＋BC|≤|AB|＋|BC|＝17(当且仅当AB与BC同向时取得等号)． →→→
又|AC|≥||AB|－|BC||＝3，
3
B．3 D．33
B．[3,17) D．(3,10]
∴3≤|→
AC|≤17. 答案：A
3．已知G是△ABC的重心，则→GA＋→GB＋→
GC＝________.
解析：如图，连接AG并延长交BC于E，点E为BC中点，延长AE到D，使GE＝ED，则→GB＋→GC＝→GD，→GD＋→GA＝0，所以→GA＋→GB＋→
GC＝0. 答案：0
4．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，向量|→AB|＝1，则|→BC＋→
CD|＝________. 解析：在△ABD中，AD＝AB＝1，∠DAB＝60°，△ABD是等边三角形， 则BD＝1，
则|→BC＋→CD|＝|→
BD|＝1. 答案：1
5．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O， 且|→AB|＝|→
AD|＝1，
→OA＋→OC＝→OB＋→OD＝0，cos ∠DAB＝1→→→→
2.求|DC＋BC|与|CD＋BC|.
解析：因为→OA＋→OC＝→OB＋→
OD＝0， 所以→OA＝→CO，→OB＝→DO，
所以四边形ABCD为平行四边形．
又|→AB|＝|→
AD|＝1，知四边形ABCD为菱形． 因为cos ∠DAB＝1
2，∠DAB∈(0，π)，
所以∠DAB＝π
3，所以△ABD为正三角形，
所以|→DC＋→BC|＝|→AB＋→AD|＝|→AC|＝2|→
AO|＝3. |→CD＋→BC|＝|→BD|＝|→
AB|＝1. 6．如图，已知向量a， b，c，d，
(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
4
→→→→
解析：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，→
则OD＝a＋b＋c＋d.
→→→→→
(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，因为e为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)． 由图可知当B在点B1时，O，A，B1三点共线， |→
OB|即|a＋e|最大，最大值是3.
5
2020年高中数学第二章2.2的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义优化练习4
