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起1.1 集合
知识导学
集合是一个原始的、不加定义的概念.我们现在刚开始接触集合的概念,最好还是要通过一些实例了解集合的含义.了解集合的含义时要考虑集合元素的三个性质即确定性、互异性和无序性,这有助于我们对集合概念的理解. 元素、集合的字母表示,以及元素与集合之间的属于或不属于关系,可在具体运用中逐渐熟悉.
集合语言是现代数学的基本语言,也就是用集合的有关概念和符号来叙述问题的语言.集合语言通常可以分为文字语言、符号语言和图形语言,将集合的三种语言之间进行相互的转化,或将集合语言转化为自然语言、几何语言,有助于弄清楚集合是由哪些元素构成的,有助于提高分析和解决问题的能力.
要辩证理解集合和元素这两个概念:(1)集合和元素是两个不同的概念,符号∈和?是表示元素和集合之间关系的,不能用来表示集合之间的关系.例如{1}∈{1,2,3}的写法就是错误的,而{1}∈{{1},{2},{3}}的写法才是正确的.(2)一些对象一旦组成了集合,那么这个集合的元素就是这些对象的全体,而非个别现象.例如对于集合{x∈R |x≥0},就是指所有不小于0的实数,而不是指“x可以在不小于0的实数范围内取值”,不是指“x是不小于0的一个实数或某些实数,”也不是指“x是不小于0的任一实数值”……(3)集合具有两方面的意义,即:凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符合条件.
在集合的表示方法上,有列举法和描述法,应在正确表示的基础上牢固把握两种方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方法直观形象地表示集合.
在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.只有准确抓住代表元素的意义及其公共属性才能简化集合,从而将集合语言转化为文字语言、图形语言.
习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们思路解析和解决数学问题.
子集:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),则称集合A为集合B的子集,记作:A?B或B?A,读作:“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”,即便有了子集的定义两个集合间也不一定是包含关系.如A={x|x为高一(1)班的男生},B={x|x为高一(1)班的女生},则A与B不具有包含关系,此时可记作:AB或BA.
子集的有关性质:
①A=B?A?B且B?A. ②A
B,B?C?A
C;A?B,B
C?A
C.
n
n-1
③若集合A有n个元素,则A的子集个数为2,真子集个数为2个,非空子集的个数为n-1n-22,非空真子集的个数为2.
并集:x∈A∪B,则x∈A或x∈B,这里的“或”是指x∈A;x∈B;x同时属于A与B,这三种情况.
三个集合的交、并运算应遵循“按顺序计算”“有括号先算括号”的原则.
如A∪B∩C,应先算“∪”再算“∩”. 一般说,A∪B∩C≠A∪(B∩C).
另外,(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C),(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C).A?B?A?
B
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),
card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).
(card(A)表示有限集合A元素的个数)
交集:要从x∈A∩B,则x∈A且x∈B理解,要理解这里的“且”;
①A∩B是一个新集合的表达式,是由A与B的所有的公共元素组成的;
②当A与B没有公共元素时,不能说它们没有交集,而是交集为?,同时结合集合的一些特征去理解.
补集:由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A的补集.理解补集的概念首先要在全集的基础上理解,没有全集就谈不上补集,另一个要注意的是一个集合与它的补集的交集是?. 记忆口诀:
集合平时很常用,数学概念有不同.理解集合并不难,三个要素是关键.元素确定和互异,还有无序要牢记.集合不论空不空,总有子集在其中.集合用图很方便,子交并补很明显.
图1-1-4
疑难导析
列举法:①有些无穷集合亦可用列举法表示,如所有正奇数组成的集合:{1,3,5,7,…};②a与{a}不同:a表示一个元素,{a}表示一个集合,该集合只有一个元素.
描述法:①在不致混淆的情况下,可以省去竖线及左边部分.如:{直角三角形};{大于10上标4的实数};
②错误表示法:把R写成{实数集}或{全体实数};
③在用描述法表示集合时,对元素公共属性准确理解是关键.
当用列举法和描述法表示集合时,应在正确表示的基础上牢固把握两种表示方法的模式,深入理解问题的本质,根据具体问题选用合理简洁的表示方法.此外,还要会用Venn图的方
法直观形象地表示集合.习惯上借助数轴来表示数的集合,借用平面直角坐标系来表示有序实数对集合,从而实现数与形的结合,有助于我们分析和解决数学问题.
明确集合中元素的特征及元素和集合的关系.集合元素的确定性,是指集合中的元素是确定的,即任何一个对象都能明确它是或不是某个集合的元素,两者必具其一,它是判断一组对象是否形成集合的标准;互异性是指给定的一个集合的元素中,任何两个元素都是不同的,因而在同一个集合中,不能重复出现同一元素,这一点常被我们所忽略;元素和集合的关系是∈和?,二者有且只有一种成立.
对于集合与集合相等,可与实数中的结论“若a≥b,且b≥a,则a=b”相类比,这种由某类事物已有的性质,通过类比、联想的方式猜想另一类相似事物的性质,是数学逻辑思维的重要思维方法.集合相等可从元素完全相同的角度去理解,若从子集的角度去理解,可提升对集合相等的理解.证明两个集合相等,分清元素的性质及构成情况是关键. 问题导思
教科书中的解释是根据集合论的创始人德国数学家康托尔关于集合的论述而来的.康托尔的一些见解至今仍然是很严谨的,但也有某些观点或解释被后来的数学家们作了修正.现在看来,“对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的”(通常称为集合中元素的确定性)这句话,最好解释为:“对于一个给定的集合,它的元素的意义是明确的”.
列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.
使用描述法时,应注意六点: ①写清集合中元素的代号; ②说明该集合中元素的性质; ③不能出现未被说明的字母;
④多层描述时,应当准确使用“且”“或”; ⑤所有描述的内容都要写在大括号内; ⑥用于描述的语句力求简明、确切.
用描述法表示集合,要特别注意这个集合中的元素是什么,它应该符合什么条件,从而准确理解集合的意义.
补集具有相对性,它是相对于全集而言的,全集改变了,补集也相应地改变. 典题导考 绿色通道
集合中的元素是确定的,某一元素a要么a∈A,要么a?A,两者必居其一,这也是判断一组对象能否构成集合的依据.此题是生活中的实例,说明生活处处皆学问. 典题变式 下列对象不能构成集合的是…( )
2
①方程x-9=0的实数根 ②我国近代著名的数学家 ③联合国常任理事国 ④空气中密度大的气体
A.①② B.①④ C.①②④ D.②④ 答案:D 黑色陷阱
在做关于集合的基本概念的辨析题时应严密,紧扣概念,对每个概念不仅要记住,而且要理解其本质.另外要注意的是:对于错误的说法,举一个反例即可. 典题变式
1.下列说法正确的是( ) ①任意集合必有子集 ②1,0.5,
31,组成的集合有四个元素 22③若集合A是集合B的子集,集合B是集合C的子集,则集合A是集合C的子集 ④若不属于集合A的元素也一定不属于集合B,则B是A的子集
A.①②③ B.①③④ C.①③ D.①②③④ 答案:B
2.下面六种表示法:
①{x=-1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2)};⑥{(x,y)|x=-1或y=2}.
能正确表示方程组??2x?y?0,的解集的是( )
x?y?3?0?A.①②③④⑤⑥ B.①②④⑤ C.②⑤ D.②⑤⑥
答案:C 黑色陷阱
在用列举法表示集合时,容易发生的错误:一是列举出来的元素不完整,如将(1)中的答案写成{1,4,9,16};二是列举的元素有重复,如把第(2)小题答案写成{1,1,2};三是不明确集合中的元素,把第(3)小题的答案写成{3,2}等. 典题变式 用列举法表示下列集合: (1){自然数中五个最小的完全平方数};
2
(2){x|(x-1) (x-2)=0}; (3){(x,y)|??2x?y?8}.
?x?y?1答案:(1){0,1,4,9,16};(2){1,2};(3){(3,2)}. 黑色陷阱
对于集合中元素的求法,要看清原来是用什么方法表示出的,有时要分类讨论.如果不注意分类讨论将导致思维的不严密.
典题变式已知全集I=R,集合A={x|x+ax+12b=0},B={x|x-ax+b=0},满足(A)∩B={2},(B)∩A={4},求实数a、b的值. 答案:a=
2
2
812,b=-.
77绿色通道
集合是由元素构成的,要确定一个集合,一是把集合中的元素一一找出来,用列举法去表示;二是明确集合中元素的范围及其满足的性质,用描述法去表示. 典题变式
已知集合A={0,2,3,4},B={0,1,2,3},非空集合M满足M?A且M?B,则满足条件的集合M的个数为( )
A.7 B.8 C.15 D.16 答案:A 绿色通道
此题考查分类讨论思想,以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题.这称为数学的化归思想,是数学思想的常用方法,在高考中重点考查.
典题变式设集合A={A|2x2+3px+2=0},B={x|2x+x+q=0},其中p、q、x∈R,当A∩B={求p的值和A∪B. 答案:p=-2
1}时,251,A∪B={-1, ,2}. 32黑色陷阱
本题可能会有如下解法:由题设易知B={2,3},C={2,-4}.由A∩B≠?,且A∩C=?知3∈A.
222
把x=3代入方程x-ax+a-19=0,得9-3a+a-19=0.解得a=5或a=-2.
这里由条件推知3∈A,进而推出a的值,并不能肯定反过来都符合题设条件.
222
典题变式 已知A={x|x-ax+a-19=0},B={x|x-5x+6=0},是否存在a,使A、B满足下列三个条件:①A≠B;②A∪B=B;③?(A∩B).若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 答案:不存在实数a,使得满足条件. 黑色陷阱
?y?ax?b,2
本题容易出现以下错误:由A∩B≠?,知方程组?有解,即方程3x-ax+15-b=02?y?3x?15有解.
22
∴Δ=a-4×3×(15-b)=a+12b-180① 由(a,b)∈C,得144≥②
(以上二元二次不等式组难以求解,故可能半途而废,不了了之)
222
①+②,得a+12b-36≥a+b,
2
即(b-6)≤0?b=6.
2
把b=6代入①,得a≥108;
2
把b=6代入②,得a≤108. ∴a=108,即a=±63.
2
≥
2
0.
2
a+b.
故存在实数a、b满足条件.
22
典题变式 方程x-ax+b=0的两根为α、β,方程x-bx+c=0的两根为γ、δ,其中α、β、γ、δ互不相等,设集合M={α,β,γ,δ},且集合S={x|x=u+υ,u∈M,υ∈M,u≠υ},P={x|x=uυ,u∈M,υ∈M,u≠υ},若S={5,7,8,9,10,12},P={6,10,14,15,21,35},求a、b、c.
答案:b=10,a=7,c=21.
2019高中数学人教A版必修1学案：1.1集合知识导学案及答案
