第十一讲 古典概型与几何概型
A组
一、选择题
1.【答案】：D
【解析】：根据计数原理，个位数与十位数之和为奇数的两位数共有
11111C5?2C4C5?45个，C1?5个，其中个位数是0的两位数有C5因此由古典概型可
知个位数是0的概率P?2.【答案】：C
51?。 4594【解析】：本题考察古典概型。由题目条件可知总的舀法为：C15，而所求事件
可分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆，豆沙馅汤圆取得个数分别按1，1，2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率
11211211C6?C5?C4?C6?C52?C4?C6?C5?C448。P??4C1591
3、【答案】：A
【解析】：本题考察几何概型以及面积的相关计算。如图设阴影部分两块的面积
?()2S2，分别为S1，OA＝R，则S1?2(S扇形ODC-S?DOC)?2[S2?S扇形OAB-S⊙DR241R2(??2)R2， ?()]?22812R2(??2)R2(??2)R2?S1=S2??R??()??，故而所求概
4288(??2)R2S?S224??1?率P?1。 2S扇形AOB??R4
4、【答案】：D
【解析】：在区间[1，4]上任取两个数记作（x，y），则基本事件构成集合
???(x,y)1?x?4,1?y?4?，面积S??3?3?9，满足条件的事件A??(x,y)1?x?4,1?y?4,x?y?3?， 117如图阴影面积SA?9??1?1?；
2217故所求概率P?SA?2?17。
S?918
二、填空题 5.【答案】：
1 67【解析】：从0到9十个数字中任取七个不同的数有C10种取法，要使七个数字
的中位数是6，则6，7，8，9必须取，然后再从0，1，2，3，4，5中任取3个
3C61数字，有C种取法，故所求概率P?7?。
C106366、【答案】：
【解析】：投掷两颗骰子，共向上的点数m、n，用(m，n)记录基本事件，则基本事件构成集合???(m,n)1?m?6,1?n?6,m,n?N?。因为
(m?ni)(n?mi)?2mn?(n2?m2)i，则它为实数的等价条件是m2?n2，又m、n
1
6
均为正整数，从而m＝n。故所求事件有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)基本事件共6个，Ω中共有36个基本事件，则P＝π
7、【答案】：
6
【解析】：设正方体棱长为a，则正方体的体积V1?a3，内切球的体积为
133?a4?a?13?V2??????a，故点M在球O内的概率为P?V2?6?。 3?2?63V16a61
＝。 366
1
8、【答案】：
2
【解析】：本题考察几何概型及线性规划的综合应用。如图，区域M是以(－2，0)，(2，0)，(0，－2)，(0，2)为顶点的正方形，其中满足x2?y2?0的是直线y＝x和y＝－x所夹的如图所示的阴影部分，显然阴影部分的面积恰好是区域M1
面积的一半，故所求的概率为。
2
三、解答题 9、【答案】：
50 81【解析】：因为每名学生都有3种报考方法，所以5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试的报考方法总数为35?243种。 三所高校中每个学校都至少有一名同学报考有两种情形：
33?A3?60种； （1）三所学校报名人数为3，1，1，共有C5
22C4C23（2）三所学校报名人数为2，2，1，共有C?A3?90种； 2A215所以三所高校中每个学校都至少有一名同学报考的方法总数为60+90=150种， 故所求概率P?15050。 ?2438116。 3310、【答案】：（1）22；（2）4；（3）
【解析】：本题考查统计中的茎叶图、样本均值、用样本估计总体、古典概型等知识，除应用频率估算概率外，还特别要注意基本公式的应用.
17?19?20?21?25?30?22；
621（2）样本中优秀工人为2名，频率为?，由此估计该车间12名工人中有
63112??4名优秀工人；
3（1）样本均值x?（3）由于12名工人中有4名优秀工人，任取2人恰有1名优秀工人的概率
11C8?C416。 P??2C1233
B组
一、选择题 1、【答案】：B
10
【解析】：10位同学参赛演讲顺序共有A10种；
（1）一班有3位同学恰好被排在一起有A33种方法；
（2）将一班的同学捆在一起与其他的5位同学共6个对象排成一列有A66种方
法；
（3）二班的2位同学插入以上6个对象所形成的7个间隙有A72种方法； 根据分布计数原理：一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起共有A33A66A72种方法；
362A3A6A71故所求概率P?。 ?10A10202、【答案】：D
【解析】：方法一（直接法）：本题考察古典概型。由题意知试验所包含的所有
5?252，至少有一人中奖包括：一人中奖，两人中奖，三人中基本事件数为C1014332C7?C32C7?C3C7。则所求概率奖，其基本事件数为C314332C3C7?C32C7?C3C711P??。 512C105方法二（正难则反）：所求事件的对立事件是没有人中奖，其基本事件数为C7。
5C711则至少有1人中奖的概率P?1?5?。
C10123、【答案】：D
【解题指南】本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件，首先是确定AD 1CD时满足题意。 2【解析】：本题的关键是找出使△APB的最大边是AB的临界条件。如图， 在矩形ABCD中，以AB为半径作圆交CD分别于E，F，当点P在线段EF上运动时满足题设要求，所以E、F为CD的四等分点，设AB?4，则DF?3,AF?AB?4
第12讲 古典概型与几何概型12答案
