综上可得，当时，在时取到极小值，没有极大值；
当时，在时取到极大值，在时取到极小值；
当时，没有极大值也没有极小值；当时，在时取到极小值．
在时取到极大值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知当且时，有两个极值点，，
且 ．
所以 ，
设，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
由且可得，所以 ，
即 ．
点评：本题考查导数的运用，利用导数研究函数的极值 ，利用导数研究曲线上某点切线方程，求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和分类讨论的思想方法，注意函数的单调性的运用，属于中档题． 例4．已知函数（Ⅰ）若
，求曲线
在
，
．
处的切线方程；
（Ⅱ）探究函数【思路引导】
的极值点情况，并说明理由．
（1）先求函数导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式写出切线方程（2）先求
导数，转化研究函数，利用导数易得先减后增，讨论与两个端
点值以及最小值点大小关系，确定极值点情况．
（ii）当，即时，有两不同解，函数在
上有两个极值点；
（iii）当，即时，有一解，函数在
区间上有一个极值点；
（iv）当
，即时，，函数在区间上无极值点．
【同步训练】
1．已知函数f?x??e，g?x???xa2（其中a?R，e为自然对数的底数， x?x，
2． e?2.71828……）
（1）令h?x??f??x?，求h?x?的单调区间；
（2）已知f?x?在x?0处取得极小值，求实数a的取值范围． 【思路引导】
（1）求导函数的导数得h??x??e?a，再根据是否变号进行分类讨论单调性：当a?0时，
x导函数不变号，为单调递增；当a?0时，导函数先负后正，对应单调区间为先减后增（2）由题意得f??0??0，结合（1）根据导函数h?x?单调性分类讨论在x?0处是否为极小值：当a?0时， f?x? 在x?0附近先减后增，为极小值；当a?0时，按lna与零大小关系进行二次讨论： lna?0， f??x?在?lna,??? 单调递增； f?x? 在x?0附近先减后增，为极小值；当a?1时， f??x??0，无极值； lna?0时， f??x?在???,lna?单调递减；
f?x? 在x?0附近先增后减，为极大值；综上可得实数a的取值范围．
（3）当a?1时，由（Ⅰ）知f??x?在区间???,lna?单调递减，f??x?在区间?lna,???单调递增，
所以f??x?在x?lna处取得最小值，即f??x??f??lna??f??0??0， 所以函数f?x?在R上单调递增，所以f?x?在x?0处无极值，不符合题意．
（4）当a?1时， lna?0，由（Ⅰ）知f??x?的减区间为???,lna?，所以当x????,0?时，
f??x??f??0??0，当x??0,lna?时，f??x??f??0??0，
所以f?x?在x?0处取得极大值，不符合题意， 综上可知，实数a的取值范围为???,1?． 2．设f?x??xlnx?ax??2a?1?x，a?R．
2（1）令g?x??f'?x?，求g?x?的单调区间；
（2）已知f?x?在x?1处取得极大值，求实数a的取值范围． 【思路引导】
（1）求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数，根据导函数大于零和小于零分别解出所
对应的增减区间，但要含参问题时则要注意讨论，由g??x??同取值尽享讨论即可得出单调
11?2ax，根据a的不?2a?xx区间；（2）已知f?x?在x?1处取得极大值，故f??1??0，然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围．
（2）由（1）知， f??1??0． ①当a?0时， f??x?单调递增．
所以当x??0,1?时， f'?x??0， f?x?单调递减．当x??1,???时， f??x??0， f?x?单调递增．
所以f?x?在x?1处取得极小值，不合题意． ②当0?a?11?1?时， ?1，由（1）知f??x?在?0,?内单调递增， 22a?2a??1??时， f??x??0， 2a??可得当x??0,1?时， f??x??0， x??1,所以f?x?在?0,1?内单调递减，在?1,不合题意．
?1??内单调递增，所以f?x?在x?1处取得极小值，2a??
高考数学玩转压轴题专题2_3极值点处单调变导数调控讨论参1
