（理）1.2 导数的计算
1.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
（文）3.2 导数的计算
3.2.1 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
［素养目标］
1．能利用导数的四则运算法则和复合函数的求导法则求解导函数，培养数学运算的核心素养。
2．导数的应用让学生进一步理解导数的几何意义及其应用，达成逻辑推理的核心素养。
【课前·预习案】
[问题导学]
知识点1. 导数的运算法则
【思考1】一个函数可以求其导数，那么两个函数加、减、乘、除能求导吗？ 【提示】能．
〖梳理〗导数的运算法则 设两个函数f(x)，g(x)可导，则 (1)和(差)的导数
符号表示：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)积的导数
符号表示：[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．
特别地，当g(x)＝c(c为常数)时，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)商的导数
f(x)?f′(x)g(x)－f(x)g′(x)符号表示：?′＝ ?g(x)? g2(x)(g(x)≠0)．
（理）知识点2. 复合函数的导数 π
3x－?的导数． 【思考2】如何求y＝cos?4??π
【提示】令u＝g(x)＝3x－，y＝f(u)＝cos u，
4
π3x－?. ∴y＝f(u)＝f(g(x))＝cos?4??
〖梳理〗复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′· ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． [达标自评]
1.判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”： (1)和的导数就是导数的和，差的导数就是导数的差．( )
(2)积的导数就是导数的积，商的导数就是导数的商. ( )
(3)(x2cos x)′＝－2xsin x．( )
解析：(1)正确.和、差的导数就是导数的和、差；（2）错.根据导数的运算法则知积的导数不是导数的积，商的导数也不是导数的商；（3）错. (x2cos x)′＝ (x2)′·cos x+x2·(cos x)′=2xcos x－x2sin x．
答案：（1）√ （2）× （3）× 2．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( )
A．1－sin 1 B．1＋sin 1 C．sin 1－1 D．－sin 1
1
解析：因为f′(x)＝－sin x＋，
x1
所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.
1答案：A
3．函数y＝sin x·cos x的导数是( )
A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x
解析：y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x.
答案：B
4．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.
解析：f(x)＝4x2＋4ax＋a2，
∵f′(x)＝8x＋4a，
∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 答案：1
ππ
3x＋?，则f ′??＝5．设f(x)＝2sin?4???4?________.
解析：∵f ′(x)＝π?π
3x＋?·3x＋?′ 2cos?4??4??
π
3x＋?， ＝6cos?4??
π??3π＋π?＝－6. ∴f ′?＝6cos?4??44?答案：－6
【课堂·探究案】
探究一 导数的四则运算法则的应用 【例1】求下列函数的导数：
14
(1)y＝x5－x3＋3x＋2；
53(2)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)； 3
(3)y＝3x4＋4x3.
【分析】这些函数是由基本初等函数经过四则运算得到的简单函数，求导时，可直接利用导数的四则运算法则进行求导．
1543
x－x＋3x＋2?′ 解：(1)y′＝?53??15?4
x′－?x3?′＋(3x)′＋(2)′＝??5??3?＝x－4x＋3.
(2)法1：y′＝(3x5－4x3)′(4x5＋3x3)＋ (3x5－4x3)(4x5＋3x3)′＝(15x4－12x)(4x＋3x)＋
(3x5－4x3)(20x4＋9x2)＝60x9－48x7＋
2
5
3
4
2
45x7－36x5＋60x9－80x7＋27x7－36x5＝120x9－56x7－72x5.
法2：∵y＝12x10－7x8－12x6 ∴y′＝120x9－56x7－72x5. 4
3(3)y′＝(3x4＋4x3)′＝(3x3)′＋3(4x2)′
11
3
＝4x3＋6x2＝4x＋6x.
【方法总结】1.多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．
2．含根号的函数求导一般先化为分数指数幂，再求导．
【跟踪训练1】求下列函数的导数．
(1)y＝x·tanx；
(2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； x－1(3)y＝. x＋1
xsinx?
解：(1)y′＝(x·tanx)′＝??cosx?′ ＝
?xsinx?′cosx－xsinx?cosx?′
cos2x
（理）探究二 复合函数的导数 【例2】求下列函数的导数： (1)y＝(2x－1)4；(2)y＝
1
； 1－2x
?sinx＋xcosx?cosx＋xsin2x＝＝cos2xsinxcosx＋x
.
cos2x
(2)解法1：y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′ π＋
(3)y＝sin(－2x＋)；(4)y＝102x3.
3
【分析】对于简单复合函数的求导，其一般步骤为“分解——求导——回代”，即：(1)＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′
＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)(x＋2)＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)
＝(2x＋3)(x＋3)＋x2
＋3x＋2＝3x2
＋12x＋11；
解法2：∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6，
∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3
＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11；
(3)解法1：y′＝??x－1?x＋1???′ ＝
?x－1?′?x＋1?－?x－1??x＋1?′
?x＋1?2
＝x＋1－?x－1??x＋1?2＝2
?x＋1?2； 解法2：∵y＝x－1x＋1－2x＋1＝x＋1＝1－
2
x＋1
， ∴y′＝?22
?1－x＋1??′＝??－x＋1??′＝
2?x＋1?2. 答案：(1)y′＝sinxcosx＋x
cos2x (2)y′＝
3x2＋12x＋11 (3)y′＝
2
?x＋1?2 弄清复合关系，将复合函数分解成基本初等函数形式；(2)利用求导法则分层求导；(3)最终结果要将中间变量换成自变量．注意不要漏掉第(3)步回代的过程．
解：(1)原函数可看作y＝u4，u＝2x－1的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(u4)′·(2x－1)′＝4u3·2＝8(2x－1)3. (2)y＝
11－2x
＝(1－2x)－12可看作y＝u－1
2，u＝1－2x的复合函数，则yx′＝yu′·ux′＝(－
12)u－32·(－2)＝(1－2x)－3
2
＝1
?1－2x?1－2x
；
(3)原函数可看作y＝sin u，u＝－2x＋π
3的复
合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝cos u·(－2)＝－2cos(－2x＋π3
)
＝－2cos(2x－π
3
)．
(4)原函数可看作y＝10u，u＝2x＋3的复合函数，
则yx′＝yu′·ux′＝102x＋
3
·ln 10·2＝(ln
100)102x＋
3.
【方法总结】 分析复合函数的结构，找准中间变量是求导的关键，要善于把一部分量、式子暂时看作一个整体，并且它们必须
是一些常见的基本函数．
复合函数的求导熟练后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外及内逐层求导． 【跟踪训练2】求下列函数的导数． (1)y＝(2x＋3)3； (2)y＝e
－0.05x＋1
；
(3)y＝sin(πx＋φ)．
解：(1)函数y＝(2x＋3)2可以看成函数y＝u2，u＝2x＋3的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(u2)′·(2x＋3)′＝2u·2＝4(2x＋3)＝8x＋12. (2)函数y＝e
－0.05x＋1
可以看成函数y＝eu和函
数u＝－0.05x＋1的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(eu
)′·(－0.05x＋1)′＝－0.05eu＝－0.05 e
－0.05x＋1
.
(3)函数y＝sin(πx＋φ)可以看成函数y＝sin u，u＝πx＋φ的复合函数．
∴yx′＝yu′·ux′＝(sin u)′·(πx＋φ)′＝cos u·π
＝π cos(πx＋φ)． 探究三 导数的应用
命题角度一 与切线方程有关的应用 [例3](1)（2018高考全国高考I卷）设函数f?x??x3??a?1?x2?ax．若f?x?为
奇函数，则曲线y?f?x?在点?0，0?处的切线方程为（ ） A．y??2x B．y??x C．y?2x
D．y?x
(2)已知函数f(x)＝1
3x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲线y＝f(x)的所有切线中，有且仅有一条切线l与直线y＝x垂直．求a的值和切
线l的方程．
（理）（3）求曲线y＝e2x＋1
在点(－1
2，1)处
的切线方程．
解析：(1) ∵f(x)为奇函数，∴
f(?x)??f(x)，即
a?1，∴
f(x)?x3?x，
∴f'(0)?1，∴切线方程为：y?x. 答案：D
解：(2)∵f(x)＝1
3x3－2x2＋ax，∴f′(x)
＝x2－4x＋a.
由题意可知，方程f′(x)＝x2－4x＋a＝－1有两个相等的实根．∴Δ＝16－4(a＋1)＝0，∴a＝3.
∴f′(x)＝x2－4x＋3＝－1可化为x2－4x＋4＝0.
解得切点横坐标为x＝2， ∴f(2)＝12
3×8－2×4＋2×3＝3
，
∴切线l的方程为y－2
3＝(－1)×(x－2)，即
3x＋3y－8＝0.
∴a＝3，切线l的方程为3x＋3y－8＝0.
（3）∵y′＝e2x＋
1·(2x＋1)′＝2e2x
＋1，
∴y′|
＝2，
x??12∴曲线y＝e2x＋1
在点(－1
2
，1)处的切线方程
为
y－1＝2(x＋1
2)，
即2x－y＋2＝0.
【互动探究】 题(2)的条件改为“f(x)＝1
x3
3
－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，且f′(1)＝5”，求曲线在(1，f(1))处的切线方程．
解：∵f′(x)＝x2－4x＋a， ∴f′(1)＝1－4＋a＝5，∴a＝8， ∴f(x)＝13x3－2x2＋8x，∴f(1)＝19
3，
则切线方程为y－19
3＝5(x－1)，
即15x－3y＋4＝0.
【方法总结】求曲线切线的关键是正确求函数的导数，要注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”两种不同的说法． 【跟踪训练3】(1)曲线y＝sin x1sin x＋cos x－2在
点M?π?4，0??处的切线的斜率为( ) A．－12
B.12 C．－22
D.22
(2)设函数f(x)＝13x3－a
2x2＋bx＋c，其中a>0，
曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，确定b、c的值．
（理）（3）曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为2，求直线l的方程．
解析：（1）y′＝
cos x?sin x＋cos x?－sin x?cos x－sin x?
?sin x＋cos x?2
＝
1
?sin x＋cos x?2，
故y′|x＝π1
4＝2
，
∴曲线在点M?π?4，0??处的切线的斜率为12
. 答案：B
（2）由题意得，f′(x)＝x2－ax＋b，
∴f′(0)＝b＝0.
由切点P(0，f(0))既在曲线f(x)＝1a
3x3－2
x2＋
bx＋c上又在切线y＝1上知???f?0?＝c，
??y|x＝0
＝1，
即c＝1.
综上所述，b＝0，c＝1.
（3）设u＝sin x，则y′＝(esin x)′＝(eu)′(sin x)′. ＝cos xesin x. y′|x＝0＝1.
则切线方程为y－1＝x－0， 即x－y＋1＝0.
若直线l与切线平行可设直线l的方程为x－y＋c＝0.
两平行线间的距离d＝|c－1|
2＝2?c＝3或
c＝－1.
故直线l的方程为x－y＋3＝0或x－y－1＝0.
命题角度二 与最值有关的应用
[例4]在抛物线y＝－x2上求一点，使之到直线4x＋3y－8＝0的距离最小． 【素养解读】 信息提取 信息转换 素养达成 在抛物线y转化为求与逻辑推理：抛物线上＝－x2上求直线4x＋3y到直线4x＋3y－8＝一点，使之到－8＝0平0的距离最小的点，直线4x＋3y行，且与抛转化为平行于直线－8＝0的距物线y＝－4x＋3y－8＝0且与离最小. x2相切的直抛物线相切的直线线. 与抛物线y＝－x2的设切点，解切点． 关于切点的数学运算：导数的运
导数计算(2)
