试题解析：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：
∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=2MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：
∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，∵∠MQE=∠PAC，∠ACP=∠QEM，AP=QM，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△AEB是等腰
直角三角形，∴
12
PQ=
22
MB，∴PQ=
2MB．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形；3．探究型；4．动点型．
20．如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别是了AB、AD上的一点，且BF⊥CE，垂足为G，求证：AF=BE．
【答案】证明见解析．【解析】
考点：1．正方形的性质；21．问题背景：如图∠BAD=
2．全等三角形的判定与性质．
1，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，做AD⊥BC于点D，则D为BC的中点，
12
∠BAC=60°，于是
BCAB
2BDAB
3；
BAC=∠ADE=120°，D，E，C三点在同一条直线
迁移应用：如图上，连接BD．
2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠
①求证：△ADB≌△AEC；②请直接写出线段
AD，BD，CD之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连接AE并延长交BM于点F，连接CE，CF．①证明△CEF是等边三角形；②若AE=5，CE=2，求BF的长．
【答案】迁移应用：①证明见解析；②【解析】
CD=
3AD+BD；拓展延伸：①证明见解析；②33．
试题解析：迁移应用：①证明：如图②
∵∠BAC=∠ADE=120°，∴∠DAB=∠CAE，在△DAE和△EAC中，∵DA=EA，∠DAB=∠EAC，AB=AC，∴△DAB≌△EAC；
②解：结论：CD=3AD+BD．
理由：如图2﹣1中，作AH⊥CD于H．
∵△DAB≌△EAC，∴BD=CE，在Rt△ADH中，DH=AD?cos30°＝
32
AD，∵AD=AE，AH⊥DE，∴DH=HE，
∵CD=DE+EC=2DH+BD=拓展延伸：①证明：如图
3AD+BD．
3中，作BH⊥AE于H，连接BE．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°，∴△ABD，△BDC是等边三角形，∴BA=BD=BC，∵E、C关于BM对称，∴BC=BE=BD=BA，FE=FC，∴A、D、E、C四点共圆，∴∠ADC=∠AEC=120°，∴∠FEC=60°，∴△EFC是等边三角形，②解：∵AE=5，EC=EF=2，∴AH=HE=2.5，FH=4.5，在Rt△BHF中，∵∠BHF=30°，
HF4.5∴=cos30°，∴BF==33．
BF3
2
考点：1．三角形综合题；轴题．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB
2．全等三角形的判定与性质；
3．探究型；4．变式探究；5．和差倍分；6．压
于点E．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若CD=1，求图中阴影部分的面积（结果保留
π）．
【答案】（1）证明见解析；（2）1【解析】
4
．
试题解析：（1）证明：连接DE，OD．
∵BC相切⊙O于点D，∴∠CDA=∠AED，∵AE为直径，∴∠ADE=90°，∵AC⊥BC，∴∠ACD=90°，∴∠DAO=∠CAD，∴AD平分∠BAC；
（2）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∴∠B=∠BAC=45°，∵BC相切⊙O于点D，∴∠ODB=90°，∴OD=BD，∴∠BOD=45°，设BD=x，则OD=OA=x，OB=
2
2x，∴BC=AC=x+1，∵AC2+BC2=AB2，∴2（x+1）
BOD
=（
2x+x）12
2
，∴x=
2，∴BD=OD=
2
2，∴图中阴影部分的面积=S△
﹣S
扇形
DOE=
22
45(2)360
=1
4
．
考点：1．切线的性质；2．角平分线的性质；3．等腰直角三角形；4．扇形面积的计算．
BAC=∠DAE=90°，点P为射线BD，CE
23．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠
的交点．
（1）求证：BD=CE；
（2）若AB=2，AD=1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC=90°时，求PB的长；
【答案】（1）证明见解析；（2）PB的长为
255
或
655
．
【解析】
试题解析：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠∠CAE，∴△ADB≌△AEC，∴BD=CE．（2）解：①当点
E在AB上时，BE=AB﹣AE=1．
BAC=∠DAE=90°，∴AB=AC，AD=AE，∠DAB=
∵∠EAC=90°，∴CE=
AE
2
AC=5．
2
同（1）可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA=∠ECA．
PB
∵∠PEB=∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴
AC
②当点E在BA延长线上时，BE=3．
BEPB
，∴CE2
15
，∴PB=
255
．
专题19全等三角形-2年中考1年模拟备战中考数学精品系列(解析版)
