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2.3 等差数列的前n项和
预习课本P42～45，思考并完成以下问题 (1)数列前n项和的定义是什么？通常用什么符号表示？ (2)能否根据首项、末项与项数求出等差数列的前n项和？ (3)能否根据首项、公差与项数求出等差数列的前n项和？ [新知初探]
1．数列的前n项和
对于数列{an}，一般地称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1
＋a2＋…＋an.
2．等差数列的前n项和公式 已知量 选用 公式 首项，末项与项数 首项，公差与项数 na1＋anSn＝ 2 [小试身手]
nn－1Sn＝na1＋d 21．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和( ) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式( ) (3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1( ) 解析：(1)正确．由前n项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n＋2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1. 又∵a1＝S1＝3，
∴a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd. 答案：(1)√ (2)× (3)×
2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则Sn等于( ) A．n
B．n(n＋1)
2
2
2
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D.
nn＋1
2
2n＋n－nn＋n×1＝＝＝
22
2
2
解析：选D 因为a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋
nn－1
2
nn＋1
2
，故选D.
1
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6等于( )
2A．16 C．36
B．24 D．48
解析：选D 设等差数列{an}的公差为d， 4×3
由已知得4a1＋d＝20，
214×3即4×＋d＝20，解得d＝3，
2216×5∴S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.
22
4．在等差数列{an}中，S4＝2，S8＝6，则S12＝________.
解析：由等差数列的性质，S4，S8－S4，S12－S8成等差数列，所以2(S8－S4)＝S4＋(S12
－S8)，S12＝3(S8－S4)＝12.
答案：12
等差数列的前n项和的有关计算
[典例] 已知等差数列{an}．
53
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求d和n；
62(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.
531
[解] (1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，∴d＝－.
626又Sn＝na1＋
nn－1
2
d＝－5，
解得n＝15或n＝－4(舍)．
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(2)由已知，得S8＝解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题．解题时注意整体代换的思想． (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N)，则am＋an＝ap＋aq，常与求和公式Sn＝*a1＋a8
2
8＝
4＋a8
＝172， 2
na1＋an2结合使用． [活学活用]
设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a8＝11，则S9等于( ) A．13 C．49
B．35 D．63
解析：选D ∵{an}为等差数列，∴a1＋a9＝a2＋a8， 9∴S9＝
a2＋a8
29×14＝＝63.
2
已知Sn求an问题
[典例] 已知数列{an}的前n项和Sn＝－2n＋n＋2. (1)求{an}的通项公式； (2)判断{an}是否为等差数列？ [解] (1)∵Sn＝－2n＋n＋2， ∴当n≥2时，
2
2
Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2
＝－2n＋5n－1， ∴an＝Sn－Sn－1
2
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教师课件：2020年高中数学第二章数列2.3等差数列的前n项和学案新人教A版必修5
